2. а) Разложите число 120 на простые множители. б) Из чисел 135, 240, 318, 505 выпишите те, которые делятся одновременно на 3 и на 5.

Пункт 2 столбиком

«Одновременно на 3 и на 5» — значит, число делится на \(15\). Поэтому проверяем делением на 15 в столбик.

1) \(135 : 15\)

\[ \begin{array}{r|l} 135 & 15\\ -\underline{135} & 9\\ 0 & \end{array} \]

\(15 \cdot 9 = 135\), остаток 0 → делится.

2) \(240 : 15\)

Берём 24: \(24:15=1\), остаток 9. Сносим 0, получаем 90: \(90:15=6\).

\[ \begin{array}{r|l} 240 & 15\\ -\underline{15} & 16\\ 90 & \\ -\underline{90} & \\ 0 & \end{array} \]

Остаток 0 → делится.

3) \(318 : 15\)

Берём 31: \(31:15=2\), остаток 1. Сносим 8, получаем 18: \(18:15=1\), остаток 3.

\[ \begin{array}{r|l} 318 & 15\\ -\underline{30} & 21\\ 18 & \\ -\underline{15} & \\ 3 & \end{array} \]

Остаток 3 → не делится.

4) \(505 : 15\)

Берём 50: \(50:15=3\), остаток 5. Сносим 5, получаем 55: \(55:15=3\), остаток 10.

\[ \begin{array}{r|l} 505 & 15\\ -\underline{45} & 33\\ 55 & \\ -\underline{45} & \\ 10 & \end{array} \]

Остаток 10 → не делится.

Проверка обратным умножением: \(15\cdot9=135\), \(15\cdot16=240\), \(15\cdot21+3=318\), \(15\cdot33+10=505\) — всё сходится.

Ответ: 135 и 240.

Если под «2» ты имел в виду разложение \(120\) на простые множители столбиком — скажи, покажу и его в таком виде.

Извини — я расписал под цифрой «2» только пункт б), а пункт а) остался в самом начале. Вот оба пункта с обозначениями.

а) Разложить 120 на простые множители столбиком

\[ \begin{array}{r|l} 120 & 2\\ 60 & 2\\ 30 & 2\\ 15 & 3\\ 5 & 5\\ 1 & \end{array} \]

Читаем правый столбец сверху вниз: \(2, 2, 2, 3, 5\).

\[ 120 = 2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot5 = 2^{3}\cdot3\cdot5 \]

Проверка: \(8\cdot3\cdot5 = 120\). ✔

б) Выписать числа, которые делятся и на 3, и на 5

Делиться на 3 и на 5 одновременно — значит делиться на \(15\). Проверяем делением на 15:

\[ \begin{array}{c|c|c} \text{число} & \text{частное} & \text{остаток}\\ 135 & 9 & 0\\ 240 & 16 & 0\\ 318 & 21 & 3\\ 505 & 33 & 10 \end{array} \]

Остаток 0 только у 135 и 240.

Ответ: 135 и 240.

Если в учебнике пункт а) — это не 120, а другое число, напиши его, и я разложу столбиком.

Пункт 3 я не вижу: в переписке есть только условие второго задания (разложение 120 и числа, делящиеся на 3 и на

Ответ: \(-15\)

Решение по действиям:

1. Корень: \[ \sqrt{144}=12, \quad \text{так как } 12^2=144. \]

2. Степень: \[ 3^{3}=3\cdot3\cdot3=27. \]

3. Вычитание: \[ 12-27=-15. \]

Проверка: \(27-12=15\), значит \(12-27=-15\). ✔

Порядок здесь важен: сначала вычисляем корень и степень, и только потом вычитаем.

\[ \sqrt{144}-3^3=12-27=-15 \]

Ответ: \(-15\)

Условия пункта 4 в переписке нет — видно только номер. Пришли само выражение (или фото задания), и я решу его кратко, как пункт 3.

4. Вычислите

а) \[ 3\frac{1}{4}+1\frac{5}{6}=\frac{13}{4}+\frac{11}{6}=\frac{39}{12}+\frac{22}{12}=\frac{61}{12}=5\frac{1}{12} \]

б) \[ 9\frac{4}{9}:\frac{8}{3}=\frac{85}{9}\cdot\frac{3}{8}=\frac{255}{72}=\frac{85}{24}=3\frac{13}{24} \]

в) сначала деление, потом сложение: \[ 2{,}45+0{,}35:0{,}7=2{,}45+0{,}5=2{,}95 \]

Ответ: а) \(5\frac{1}{12}\); б) \(3\frac{13}{24}\); в) \(2{,}95\).

Проверил: если в б) именно \[ 9\frac49:\frac83, \] то \[ \frac{85}{9}\cdot\frac38=\frac{85}{24}=3\frac{13}{24}, \] и этот ответ верный.

Скорее всего, в задании другой делитель. Если там \(8\frac13\), то: \[ \frac{85}{9}:\frac{25}{3} =\frac{85}{9}\cdot\frac{3}{25} =\frac{17}{15} =1\frac{2}{15}. \]

Напиши пункт б) точно или пришли фото крупнее — исправлю.

Понял: в б) второй дробью было \(\frac{3}{8}\), а не \(\frac{8}{3}\). Тогда:

\[ 9\frac{4}{9}:\frac{3}{8}=\frac{85}{9}\cdot\frac{8}{3}=\frac{680}{27}=25\frac{5}{27} \]

Ответ: б) \(25\frac{5}{27}\).

Проверка: \(25\frac{5}{27}\cdot\frac{3}{8}=\frac{680}{27}\cdot\frac{3}{8}=\frac{85}{9}=9\frac{4}{9}\). ✔

По фото уточнил условие: в 4б стоит \(\frac{4}{9}:\frac{3}{8}\), а не \(9\frac49:\frac38\). Исправляю прежний ответ.

Вариант 1

1. Вычислите

а) \[ (+15)+(-8)-4=15-8-4=3 \]

б) \[ 56:(-7)-(-12)=-8+12=4 \]

2.

а) \[ 120=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot5=2^3\cdot3\cdot5 \]

б) делятся одновременно на 3 и на 5: \[ 135 \text{ и } 240 \]

3. Найдите значение выражения

а) \[ \sqrt{144}-3^3=12-27=-15 \]

б) \[ \sqrt[3]{125}+(-2)^4=5+16=21 \]

4. Вычислите

а) \[ 3\frac14+1\frac56=\frac{13}{4}+\frac{11}{6} =\frac{39}{12}+\frac{22}{12} =\frac{61}{12}=5\frac{1}{12} \]

б) \[ \frac49:\frac38=\frac49\cdot\frac83=\frac{32}{27}=1\frac{5}{27} \]

в) сначала деление: \[ 2{,}45+0{,}35:0{,}7=2{,}45+0{,}5=2{,}95 \]

5. Сравните числа

\[ \frac58=0{,}625 \]

Значит, \[ \frac58>0{,}62 \]

6. Округлите до сотых

\[ 18{,}4637\approx18{,}46 \]

7. Выразите 35 %

\[ 35\%=0{,}35=\frac{35}{100}=\frac{7}{20} \]

8. Процент девочек

\[ \frac{18}{30}\cdot100\%=60\% \]

Ответ: 60 %.

9. Цена товара

Сначала цена снизилась на 10 %:

\[ 1500\cdot0{,}9=1350 \]

Затем новая цена увеличилась на 20 %:

\[ 1350\cdot1{,}2=1620 \]

Ответ: 1620 рублей.

Ты прав: пункта 9 в задании нет — я добавил его по ошибке. Решать его не нужно.

Итог по 1–8:

1. а) \(3\); б) \(4\)
2. а) \(120=2^3\cdot3\cdot5\); б) \(135\) и \(240\)
3. а) \(-15\); б) \(21\)
4. а) \(5\frac{1}{12}\); б) \(1\frac{5}{27}\); в) \(2{,}95\)
5. \(\frac58>0{,}62\)
6. \(18{,}46\)
7. \(0{,}35=\frac{7}{20}\)
8. \(60\%\)

Если девятый пункт в учебнике всё-таки есть, пришли его отдельно.

Да, это продолжение: на фото тот же вариант 1, и в нём только пункты 1–8. Девятого задания нет — ты правильно заметил, его я добавил по ошибке.

Главное уточнение по фото: в 4б стоит \[ \frac{4}{9}:\frac{3}{8}=\frac{4}{9}\cdot\frac{8}{3}=\frac{32}{27}=1\frac{5}{27}. \]

Остальные ответы из последнего списка (1–8) соответствуют заданиям на фото.

5. Сравните числа \(\frac{5}{8}\) и \(0{,}62\)

Переводим дробь в десятичную: делим 5 на 8.

\[ \frac{5}{8}=5:8=0{,}625 \]

Теперь сравниваем по разрядам: \(0{,}625\) и \(0{,}620\). Цифры десятых (6) и сотых (2) одинаковые, а в разряде тысячных \(5>0\), значит

\[ 0{,}625>0{,}620 \]

Ответ: \(\frac{5}{8}>0{,}62\).

6. Округлите до сотых: \(18{,}4637\)

До сотых — значит оставляем две цифры после запятой: \(18{,}46|37\).

Смотрим на следующую цифру — третью после запятой. Там \(3\), а \(3<5\), значит оставленную цифру не увеличиваем, а остальные отбрасываем:

\[ 18{,}4637\approx18{,}46 \]

Ответ: \(18{,}46\).

Правило на будущее: если следующая цифра \(0,1,2,3,4\) — округляем вниз (оставляем как есть), если \(5,6,7,8,9\) — увеличиваем последнюю оставленную цифру на 1.

7. Выразите \(35\%\) десятичной и обыкновенной дробью

Процент — это сотая часть числа, поэтому \(1\%=\frac{1}{100}=0{,}01\). Значит, чтобы перейти от процентов к числу, делим на 100 (или записываем сотые):

\[ 35\%=\frac{35}{100}=0{,}35 \]

Теперь сокращаем обыкновенную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 5:

\[ \frac{35}{100}=\frac{35:5}{100:5}=\frac{7}{20} \]

Больше сократить нельзя: 7 — простое число, а 20 на 7 не делится.

Проверка: \(\frac{7}{20}=7:20=0{,}35\). ✔

Ответ: \(35\%=0{,}35=\frac{7}{20}\).

Общее правило: проценты → число — делим на 100; число → проценты — умножаем на 100.

7. Ответ: \(35\%=0{,}35=\frac{7}{20}\)

Кратко по всему варианту:

1. а) \(3\); б) \(4\)
2. а) \(120=2^3\cdot3\cdot5\); б) \(135\) и \(240\)
3. а) \(-15\); б) \(21\)
4. а) \(5\frac{1}{12}\); б) \(1\frac{5}{27}\); в) \(2{,}95\)
5. \(\frac58>0{,}62\)
6. \(18{,}46\)
7. \(0{,}35=\frac{7}{20}\)
8. \(60\%\)