Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ: \(x_{1}=2,\ x_{2}=3\).

Ключевая идея

У приведённого квадратного уравнения \(x^{2}+px+q=0\) (коэффициент при \(x^{2}\) равен 1) корни связаны с коэффициентами по теореме Виета:

\[ x_{1}+x_{2}=-p,\qquad x_{1}\cdot x_{2}=q \]

У нас \(p=-5\), \(q=6\), то есть:

\[ x_{1}+x_{2}=5,\qquad x_{1}\cdot x_{2}=6 \]

Нужны два числа, которые в сумме дают 5, а в произведении — 6. Это 2 и 3: \(2+3=5\), \(2\cdot 3=6\).

Второй способ — разложение на множители

Если корни \(x_{1}\) и \(x_{2}\), то \(x^{2}+px+q=(x-x_{1})(x-x_{2})\). Значит:

\[ x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3) \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

\[ x-2=0 \ \Rightarrow\ x=2; \qquad x-3=0 \ \Rightarrow\ x=3 \]

Третий способ — через дискриминант (работает всегда)

\[ D=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \] \[ x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm 1}{2} \] \[ x_{1}=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_{2}=\frac{5+1}{2}=3 \]

Проверка

Подставим \(x=2\): \(4-10+6=0\) — верно. Подставим \(x=3\): \(9-15+6=0\) — верно.

Принцип на будущее: если уравнение приведённое и корни целые, быстрее всего подобрать их по Виету (сумма \(=-p\), произведение \(=q\)); если подобрать не удаётся — считай дискриминант.