Точка C - общая точка плоскостей α и β. Прямая m проходит через точку C. Верно ли, что плоскости α и β пересекаются по прямой m?

Вопрос 2. Ответ: «Неверно»

Ключевая мысль: общая точка у двух плоскостей есть, но прямая, проходящая через эту точку, ещё не обязана быть линией их пересечения.

1. Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) различны и имеют общую точку \(C\), значит они пересекаются по некоторой прямой (аксиома стереометрии). Эта прямая обязательно проходит через \(C\), ведь общая точка лежит на линии пересечения.
2. Про прямую \(m\) известно только то, что \(C \in m\). Через точку в пространстве можно провести бесконечно много прямых, и далеко не каждая лежит сразу в двух плоскостях.
3. Чтобы \(m\) была линией пересечения, нужно одновременно \(m \subset \alpha\) и \(m \subset \beta\). Из условия это не следует.

Контрпример. Пусть \(\alpha\) и \(\beta\) пересекаются по прямой \(l\), причём \(C \in l\). Проведём через \(C\) прямую \(m\), лежащую только в \(\alpha\) (или вообще не лежащую ни в одной из плоскостей). Тогда \(C \in m\), но \(\alpha \cap \beta = l \neq m\) — утверждение ложно.

Проверка: чтобы ответ стал «Верно», в условии должно быть сказано, что прямая \(m\) лежит и в \(\alpha\), и в \(\beta\). Одной общей точки \(C\) недостаточно.

Вопрос 3

Здесь рисунок обрезан: видна только вершина \(S\) и верхние части рёбер, а точек \(M\) и \(N\) (и всего основания) в кадре нет. Пришли, пожалуйста, фото рисунка целиком — тогда я назову плоскость тремя точками по алфавиту.

(Верхний фрагмент — «Точка \(A\) лежит / не лежит на прямой \(a\)» — это варианты другого вопроса, его условие и рисунок в кадр не попали.)