номер 17(б)
Сверь числа и знаки с фото.
- Высоты \(AA_{1}\) и \(CC_{1}\) остроугольного треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(D\). б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника \(ABC\), до стороны \(AC\), если \(A_{1}C_{1}=6\) и \(\angle ABC=60^\circ\).
Краткий ответ: \(2\sqrt{3}\).
Ключевые шаги
Обозначим \(AC=b\). Так как \(AA_1\perp BC\), а \(CC_1\perp AB\), то \[ \angle AA_1C=90^\circ,\qquad \angle AC_1C=90^\circ. \] Значит, точки \(A,C,A_1,C_1\) лежат на окружности с диаметром \(AC\).
В этой окружности хорда \(A_1C_1\) равна \[ A_1C_1=AC\cdot \sin\angle A_1AC_1. \] Луч \(AC_1\) идёт по стороне \(AB\), а \(AA_1\perp BC\), поэтому \[ \angle A_1AC_1=90^\circ-\angle ABC=30^\circ. \] Тогда \[ 6=AC\cdot \sin30^\circ=\frac{AC}{2}, \] откуда \[ AC=12. \]
Пусть \(O\) — центр описанной окружности треугольника \(ABC\), \(M\) — середина \(AC\). Тогда \(OM\perp AC\) и \[ AM=\frac{AC}{2}=6. \] Хорда \(AC\) стягивает центральный угол \[ \angle AOC=2\angle ABC=120^\circ, \] поэтому \(OM\) делит его пополам: \[ \angle AOM=60^\circ. \]
В прямоугольном треугольнике \(AOM\) \[ OM=\frac{AM}{\tan60^\circ} =\frac{6}{\sqrt3} =2\sqrt3. \]
Проверка: радиус описанной окружности \[ R=\frac{AC}{2\sin60^\circ} =\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3, \] а расстояние от центра до хорды \(AC\) равно \[ R\cos60^\circ=4\sqrt3\cdot\frac12=2\sqrt3. \]
