5. Запишите в виде степени: а) 3·3·3·3 =
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Запишите в виде степени: а) \(3\cdot3\cdot3\cdot3=3^{4}\) б) \((-\frac{1}{3})(-\frac{1}{3})(-\frac{1}{3})=(-\frac{1}{3})^{3}\) в) \(b\cdot b\cdot b\cdot y\cdot b\cdot y\cdot y=b^{4}y^{3}\) г) \((\frac{a}{2})(\frac{a}{2})(3x)(3x)(3x)=(\frac{a}{2})^{2}(3x)^{3}\) д) \(2\cdot2\cdot2=2^{3}\) е) \((-0{,}7)(-0{,}7)(-0{,}7)(-0{,}7)=(-0{,}7)^{4}\) ж) \(x\cdot x\cdot y\cdot y\cdot x\cdot y\cdot y=x^{3}y^{4}\) з) \(\frac{x}{x+2}\cdot\frac{x}{x+2}=\) [неразборчиво]
Представьте степень в виде произведения равных сомножителей: а) \((-5)^{3}=\) ___ б) \(6^{4}=\) ___ в) \((-4b)^{2}=\) ___ г) \((\frac{1}{3}c)^{3}=\) ___ д) \(a^{4}\cdot b^{2}=\) ___ е) \((a-b)^{3}=\) ___ ж) \(x^{3}\cdot y^{3}=\) ___ з) \((a+b)^{2}=\) ___
Представьте число различными способами в виде степени: а) \(\square^{\square}=16\), \(\square^{\square}=16\), б) \(\square^{\square}=64\), \(\square^{\square}=64\), \(\square^{\square}=64\), в) \(\square^{\square}=81\), \(\square^{\square}=81\), г) \(\square^{\square}=1 000 000\), \(\square^{\square}=1 000 000\), \(\square^{\square}=1 000 000\), д) \(\square^{\square}=0{,}001\), \(\square^{\square}=0{,}001\), е) \(\square^{\square}=\frac{1}{64}\), \(\square^{\square}=\frac{1}{64}\), \(\square^{\square}=\frac{1}{64}\).
Смысл у обеих задач один: \(a^{n}=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n}\), где \(a\) — основание, \(n\) — показатель. В №6 степень «разворачиваем» в произведение, в №7 число, наоборот, «сворачиваем» в степень.
№ 6. Степень в виде произведения равных сомножителей
а) \((-5)^{3}=(-5)\cdot(-5)\cdot(-5)=-125\); б) \(6^{4}=6\cdot6\cdot6\cdot6\); в) \((-4b)^{2}=(-4b)\cdot(-4b)=16b^{2}\); г) \(\left(\frac{1}{3}c\right)^{3}=\frac{c}{3}\cdot\frac{c}{3}\cdot\frac{c}{3}=\frac{c^{3}}{27}\); д) \(a^{4}\cdot b^{2}=a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot b\cdot b\); е) \((a-b)^{3}=(a-b)(a-b)(a-b)\); ж) \(x^{3}\cdot y^{3}=x\cdot x\cdot x\cdot y\cdot y\cdot y\); з) \((a+b)^{2}=(a+b)(a+b)\).
№ 7. Число в виде степени разными способами
а) \(16=2^{4}=4^{2}\); б) \(64=2^{6}=4^{3}=8^{2}\); в) \(81=3^{4}=9^{2}\); г) \(1\,000\,000=10^{6}=100^{3}=1000^{2}\); д) \(0{,}001=(0{,}1)^{3}=\left(\frac{1}{10}\right)^{3}\) (если уже проходили отрицательные показатели, подойдёт и \(10^{-3}\)); е) \(\frac{1}{64}=\left(\frac{1}{2}\right)^{6}=\left(\frac{1}{4}\right)^{3}=\left(\frac{1}{8}\right)^{2}\).
Как это устроено
- Показатель — это количество одинаковых множителей. Поэтому в №6 выписываем основание столько раз, сколько велит показатель, и следим за знаком: в \((-5)^{3}\) минус встречается три раза (нечётно) — результат отрицательный, а в \((-0{,}7)^{4}\) — четыре раза (чётно) — результат положительный.
- Одинаковые множители можно группировать: \(x^{3}y^{3}=(xy)^{3}\), а \(a^{4}b^{2}\) — это четыре множителя \(a\) и два множителя \(b\) (показатели разных оснований считаются отдельно и не складываются).
- Обратная задача (№7) решается разложением на простые множители. Например, \(64=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=2^{6}\); теперь группируем по два: \(2^{6}=(2^{2})^{3}=4^{3}\), по три: \(2^{6}=(2^{3})^{2}=8^{2}\). Работает правило \((a^{m})^{n}=a^{mn}\) — показатели перемножаются.
- С дробями и десятичными так же: \(0{,}1\cdot0{,}1\cdot0{,}1=0{,}001\), значит \(0{,}001=(0{,}1)^{3}\).
Проверка. \(8^{2}=64\), \(4^{3}=64\), \(2^{6}=64\); \(100^{3}=10^{6}=1\,000\,000\); \(\left(\frac{1}{4}\right)^{3}=\frac{1}{64}\); \((-5)^{3}=-125\). Все сходится.
В №5 разложения уже записаны верно; в пункте з) ответ можно оформить и как \(\left(\frac{x}{x+2}\right)^{2}\), и как \(\frac{x^{2}}{(x+2)^{2}}\) — это одно и то же.
