Домашняя работа 1) Вычислить: cos²135° − sin²135°

Краткий ответ

1. \(0\)

2a) \(-\dfrac{24}{25}\)

2b) \(-\dfrac{4\sqrt6}{25}\)

3a) \(\dfrac{7}{25}=0{,}28\)

3b) \(0{,}82=\dfrac{41}{50}\)

Как решать

Нужны формулы двойного угла:

\[ \sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha, \qquad \cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha. \]

1. \[ \cos^2 135^\circ-\sin^2 135^\circ=\cos 270^\circ=0. \]

2a) \(\sin\alpha=\frac35\), угол в III четверти, поэтому \(\cos\alpha<0\):

\[ \cos\alpha=-\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=-\frac45, \]

\[ \sin2\alpha=2\cdot\frac35\cdot\left(-\frac45\right)=-\frac{24}{25}. \]

2b) \(\cos\alpha=0{,}2=\frac15\), угол в III четверти, поэтому \(\sin\alpha<0\):

\[ \sin\alpha=-\sqrt{1-\left(\frac15\right)^2} =-\frac{\sqrt{24}}5=-\frac{2\sqrt6}{5}, \]

\[ \sin2\alpha =2\cdot\frac15\cdot\left(-\frac{2\sqrt6}{5}\right) =-\frac{4\sqrt6}{25}. \]

3a) \[ \cos2\alpha=2\left(\frac45\right)^2-1 =\frac{32}{25}-1=\frac{7}{25}. \]

3b) \(\sin\alpha=0{,}3=\frac3{10}\):

\[ \cos2\alpha=1-2\left(\frac3{10}\right)^2 =1-0{,}18=0{,}82. \]

Важное примечание к пункту 2. На фото есть математическое противоречие: при \(\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}\) и синус, и косинус должны быть отрицательными, а в условии даны положительные \(3/5\) и \(0{,}2\). Строго таких углов не существует. В расчёте выше я использовал обычный школьный алгоритм: знак неизвестной функции определяется по указанной четверти. Если в задании были потеряны минусы, то есть должно быть \(\sin\alpha=-\frac35\) и \(\cos\alpha=-0{,}2\), то ответы в 2a и 2b были бы положительными: \(\frac{24}{25}\) и \(\frac{4\sqrt6}{25}\).