Дано: ∠BAC, α ∥ β, α ∩ AB = A1, α ∩ AC = B1, β ∩ AB = A2, β ∩ AC = B2, A1A2 = 2A1A = 12 см, AB1 = 15 см
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Дано: \(\angle BAC\) \(\alpha\parallel\beta\) \(\alpha\cap AB=A_1\) \(\alpha\cap AC=B_1\) \(\beta\cap AB=A_2\) \(\beta\cap AC=B_2\) \(A_1A_2=2A_1A=12\ \text{см}\) \(AB_1=15\ \text{см}\) \(AA_2=?\) \(AB_2=?\) [Рисунок: две параллельные плоскости; на двух пересекающих их прямых отмечены точки \(A_1,A_2\) и \(B_1,B_2\).]
Краткий ответ: \(AA_2=18\) см, \(AB_2=45\) см.
Как рассуждать:
Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны. Плоскость угла \(BAC\) пересекает их по прямым \(A_1B_1\) и \(A_2B_2\). Значит, \[ A_1B_1\parallel A_2B_2. \]
Поэтому треугольники \(AA_1B_1\) и \(AA_2B_2\) подобны: у них общий угол \(A\), а основания параллельны.
Из условия \[ A_1A_2=2A_1A=12 \] следует \[ A_1A=6\text{ см}. \] По рисунку точки расположены в порядке \(A\), \(A_1\), \(A_2\), поэтому \[ AA_2=AA_1+A_1A_2=6+12=18\text{ см}. \]
Из подобия треугольников: \[ \frac{AA_1}{AA_2}=\frac{AB_1}{AB_2}. \] Подставляем известные длины: \[ \frac{6}{18}=\frac{15}{AB_2}, \] откуда \[ AB_2=15\cdot 3=45\text{ см}. \]
Проверка: \(AA_1:AA_2=6:18=1:3\), и \(AB_1:AB_2=15:45=1:3\). Пропорции совпадают.
Принцип: параллельные плоскости отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки, поэтому можно использовать подобие треугольников и общий коэффициент масштаба.
