Какую наименьшую длину должна иметь лента, чтобы её можно было разрезать как на части длиной 9 м, так и на части длиной 17 м.

Краткий ответ: наименьшая длина ленты — 153 м; для решения нужно использовать НОК.

Почему именно НОК

Лента должна делиться на куски по 9 м и на куски по 17 м, значит её длина должна делиться и на 9, и на 17 — то есть быть общим кратным. Требуется наименьшая такая длина, поэтому берём наименьшее общее кратное.

\[ \text{НОК}(9;\,17) \]

Разложим на простые множители:

\[ 9 = 3^2, \qquad 17 = 17 \ \text{(простое число)} \]

Общих множителей нет, значит числа взаимно простые, и

\[ \text{НОК}(9;\,17) = 9 \cdot 17 = 153 \]

Проверка

\[ 153 : 9 = 17 \ \text{кусков} \] \[ 153 : 17 = 9 \ \text{кусков} \]

В обоих случаях получается целое число кусков без остатка — значит, ленту 153 м действительно можно разрезать и так, и так, и это наименьшая подходящая длина.

Почему не НОД

\(\text{НОД}(9;\,17) = 1\) — это наибольший общий делитель, он показывает, на что числа делятся нацело. А нам нужно, наоборот, число, которое делится на 9 и на 17, — это работа для НОК. Простой ориентир: «наименьшее, что делится на оба» → НОК; «наибольшее, на что делятся оба» → НОД.

Ответ: 153.