как сделать 11 номер
Сверь числа и знаки с фото.
Найди НОД 11) 72 и [зачёркнуто] 120
Кратко: \(\operatorname{НОД}(72,120)=24\).
В номере 11 на фото записаны числа \(72\) и \(120\) (одно число зачёркнуто, беру незачёркнутое \(120\)).
Как решать
Раскладываю оба числа на простые множители: \[ 72=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3=2^3\cdot3^2, \] \[ 120=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot5=2^3\cdot3\cdot5. \]
Нахожу общие простые множители. В обоих разложениях есть три двойки и одна тройка. Каждый общий множитель беру в наименьшей степени, в которой он встречается: \[ 2^3 \quad \text{и} \quad 3^1. \]
Перемножаю общие множители: \[ \operatorname{НОД}(72,120)=2^3\cdot3=8\cdot3=24. \]
Проверка \[ 72:24=3,\qquad 120:24=5. \] Числа \(3\) и \(5\) взаимно простые: общих делителей, кроме \(1\), у них нет. Значит, \(24\) — действительно наибольший общий делитель, а не просто какой-то общий делитель.
Почему способ работает
Любой общий делитель чисел \(72\) и \(120\) может состоять только из тех простых множителей, которые есть в обоих числах. Чтобы делитель был наибольшим, нужно взять все такие общие множители и каждую степень — максимально возможную, но не больше, чем есть в каждом числе. Поэтому и берутся общие степени: \(2^3\) и \(3^1\), а не, например, \(2^4\), потому что \(72\) на \(16\) не делится.
Обсуждение
4 сообщенияКак сделать 12 номер?
Ответ: \(\operatorname{НОД}(792;1188)=396\).
В номере 12 нужно найти наибольший общий делитель чисел \(792\) и \(1188\).
1. Раскладываю числа на простые множители
\[ 792=2^3\cdot 3^2\cdot 11 \]
\[ 1188=2^2\cdot 3^3\cdot 11 \]
2. Выбираю общие простые множители
В обоих разложениях есть числа \(2\), \(3\) и \(11\).
Для НОД каждый общий множитель берут в наименьшей степени:
\[ 2^2,\qquad 3^2,\qquad 11^1. \]
3. Перемножаю
\[ \operatorname{НОД}(792;1188)=2^2\cdot 3^2\cdot 11 =4\cdot 9\cdot 11=396. \]
Проверка
\[ 792:396=2,\qquad 1188:396=3. \]
Числа \(2\) и \(3\) взаимно простые, значит, \(396\) — действительно наибольший общий делитель.
Второй способ — алгоритм Евклида
\[ 1188-792=396, \] \[ 792=2\cdot 396. \]
Остаток равен нулю, поэтому
\[ \operatorname{НОД}(792;1188)=396. \]
Принцип: для НОД раскладываем числа на простые множители и перемножаем только те множители, которые есть в обоих числах, беря каждый в меньшей степени.
Как сделать 13 номер?
Ответ: \(\operatorname{НОД}(924;396)=132\).
В номере 13 даны числа \(924\) и \(396\).
1. Раскладываю на простые множители
\[ 924=2^2\cdot 3\cdot 7\cdot 11 \]
\[ 396=2^2\cdot 3^2\cdot 11 \]
Проверка разложений: \[ 4\cdot3\cdot7\cdot11=924,\qquad 4\cdot9\cdot11=396. \]
2. Беру общие множители в меньших степенях
Общие простые числа — \(2\), \(3\) и \(11\):
\[ 2^2,\qquad 3^1,\qquad 11^1. \]
3. Перемножаю
\[ \operatorname{НОД}(924;396)=2^2\cdot3\cdot11=4\cdot3\cdot11=132. \]
Проверка
\[ 924:132=7,\qquad 396:132=3. \]
Числа \(7\) и \(3\) взаимно простые, значит, \(132\) — наибольший общий делитель.
Второй способ — алгоритм Евклида
\[ 924=2\cdot396+132, \] \[ 396=3\cdot132+0. \]
Последний ненулевой остаток равен \(132\), поэтому \(\operatorname{НОД}(924;396)=132\).
Принцип: общие простые множители перемножаем, каждый берём в наименьшей степени из двух разложений.
