что такое медиана , биссектриса и высота , что бы выучить

Кратко: для каждой из трёх линий есть своя главная теорема.

1. Теорема о медианах Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины. \[ AO:OM = 2:1 \] То есть от вершины до точки пересечения — две трети медианы, а до стороны — одна треть. Эта точка — центр тяжести треугольника.

2. Теорема о биссектрисе угла треугольника Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: \[ \frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC} \] где \(AL\) — биссектриса из вершины \(A\).

3. Теорема о высотах Все три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке — ортоцентре. В тупоугольном треугольнике эта точка лежит вне треугольника, поэтому и нужны «продолжения».

4. Теорема о равнобедренном треугольнике — самая используемая в задачах В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является одновременно биссектрисой и высотой. Верно и обратное: если в треугольнике медиана совпала с высотой или с биссектрисой, то треугольник равнобедренный.

Как уложить в голове: три «линии» — три «точки встречи» (центр тяжести, точка на стороне, ортоцентр), и у каждой свой признак-маркер: \(2:1\), пропорция сторон, \(90^\circ\).

Если нужна доказательная часть какой-то одной теоремы — скажи, какой именно, и я разберу доказательство по шагам.

Определения (строгие формулировки)

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса угла — луч, выходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла. Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Обрати внимание на точность: медиана и высота — это отрезки, биссектриса угла — луч, а биссектриса треугольника — отрезок этого луча. В высоте важен перпендикуляр именно к прямой, содержащей сторону, поэтому у тупоугольного треугольника высота может лежать вне треугольника.

Теоремы (строгие формулировки)

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении \(2:1\), считая от вершины.
2. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: если \(AL\) — биссектриса угла \(A\), то \[ \frac{BL}{LC}=\frac{AB}{AC}. \]
3. Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке (ортоцентре).
4. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также биссектрисой и высотой.

Хорошо. Дам не готовое решение «под копирку», а каркас и подсказки, чтобы можно было собрать и понять доказательство.

Как оформлять доказательство

Обычно так:

Дано: … Доказать: … Доказательство:

1. Рассмотрим \(\triangle\ldots\) и \(\triangle\ldots\).
2. У них:
   • \(\ldots=\ldots\) — общая сторона / по условию / вертикальные углы;
   • \(\ldots=\ldots\) — по условию;
   • \(\ldots=\ldots\) — по условию.
3. Значит, \(\triangle\ldots=\triangle\ldots\) по второму признаку равенства треугольников.

Второй признак: по стороне и двум прилежащим к ней углам. Просто «по двум углам» писать нельзя: для равенства нужна ещё сторона.

№ 129

На рисунке 79 ищи два треугольника: \(\triangle TCO\) и \(\triangle PBO\).

Что нужно заметить:

1. \(CO=OB\) — это отмечено на рисунке чёрточками.
2. \(\angle TCO=\angle PBO=90^\circ\) — по рисунку там прямые углы.
3. \(\angle TOC=\angle POB\) — это вертикальные углы, они равны.

Причём сторона \(CO\) лежит между углами \(C\) и \(O\), а сторона \(OB\) — между углами \(B\) и \(O\). Значит, подходит второй признак равенства треугольников.

После равенства треугольников выпиши соответствие вершин: \[ T\leftrightarrow P,\quad C\leftrightarrow B,\quad O\leftrightarrow O. \] Отсюда и получаются \(TO=OP\) и \(\angle T=\angle P\).

В тетради оформи как «Рассмотрим \(\triangle TCO\) и \(\triangle PBO\)», а дальше — три пункта с причинами.

№ 127

На фото нет рисунка 59, поэтому номера углов \(1\)–\(4\) лучше сверить по рисунку. Но схема решения такая:

В треугольниках \(\triangle ABC\) и \(\triangle CDA\):

• \(AC\) — общая сторона;
• \(\angle\ldots=\angle\ldots\) — по условию;
• \(\angle\ldots=\angle\ldots\) — по условию.

Нужно взять именно те углы, которые прилежат к общей стороне \(AC\) в каждом треугольнике. Тогда: \[ \triangle ABC=\triangle CDA \] по второму признаку.

В пункте б уже не доказывай заново — используй равенство треугольников. Важен порядок букв в записи: \[ \triangle ABC=\triangle CDA \] значит, соответствующие стороны: \[ AB=CD,\qquad BC=DA. \] Если \(AD=19\) см, \(CD=11\) см, то: \[ AB=11\text{ см},\qquad BC=19\text{ см}. \]

Ответ можно записать: \(AB=11\) см, \(BC=19\) см.

Пришли крупно рисунок 59 — подскажу, какие именно углы писать в доказательстве.

Хорошо — показываю образец записи строго по правилам.

Чек-лист оформления (это и есть «правила»)

1. Сверху — рисунок, «Дано» и «Доказать» (или «Найти»).
2. Доказательство идёт нумерованными пунктами; каждый пункт = утверждение + тире + обоснование.
3. Перед сравнением треугольников — фраза «Рассмотрим \(\triangle\ldots\) и \(\triangle\ldots\)».
4. Признак называть полностью: «по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников)».
5. Порядок букв в записи \(\triangle ABC=\triangle CDA\) задаёт соответствие вершин — от него зависят равные элементы.
6. В конце — «Что и требовалось доказать».
7. Уже доказанное дальше не доказывается заново: пишем «по доказанному в п. 1» или «из равенства треугольников следует».

Образец полностью оформленного доказательства

Дано: \(\triangle TCO\) и \(\triangle PBO\); \(\angle TCO=\angle PBO=90^\circ\); \(CO=BO\). Доказать: \(\angle T=\angle P\).

Доказательство.

1. \(\angle TOC=\angle POB\) — как вертикальные углы.
2. Рассмотрим \(\triangle TCO\) и \(\triangle PBO\). В них:
   • \(CO=BO\) — по условию;
   • \(\angle TCO=\angle PBO\) — по условию;
   • \(\angle TOC=\angle POB\) — по доказанному в п. 1.
3. Следовательно, \(\triangle TCO=\triangle PBO\) по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).
4. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Угол \(T\) лежит против стороны \(CO\), угол \(P\) — против стороны \(BO\), а \(CO=BO\). Значит, \(\angle T=\angle P\).

Что и требовалось доказать.

№ 127 — та же схема, пункты заполняешь по рисунку 59

Дано: \(\triangle ABC\) и \(\triangle CDA\); \(AC\) — общая сторона; \(\angle\ldots=\angle\ldots\), \(\angle\ldots=\angle\ldots\) — по условию. Доказать: \(\triangle ABC=\triangle CDA\).

Доказательство.

1. Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle CDA\). В них:
   • \(AC\) — общая сторона;
   • \(\angle\ldots=\angle\ldots\) — по условию;
   • \(\angle\ldots=\angle\ldots\) — по условию.
2. Следовательно, \(\triangle ABC=\triangle CDA\) по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак).

б) Найти \(AB\) и \(BC\), если \(AD=19\) см, \(CD=11\) см.

Решение.

1. Из равенства \(\triangle ABC=\triangle CDA\) следует \(AB=CD\), \(BC=AD\) — как соответственные стороны равных треугольников.
2. Тогда \(AB=11\) см, \(BC=19\) см.

Ответ: \(AB=11\) см, \(BC=19\) см.

Одно уточнение: в чате нет рисунков 59 и 79, поэтому буквы и номера углов в № 127 я оставил «слотами». Пришли фото этих рисунков — подставлю точные обозначения, и запись будет готова под чистовик.

Ниже — готовая запись в тетрадь. Единственное, что нужно сверить самому: какие именно углы на рисунке 59 обозначены цифрами 1–4. Обычно в этой задаче \(\angle 1=\angle BAC\), \(\angle 2=\angle DCA\), \(\angle 3=\angle BCA\), \(\angle 4=\angle DAC\). Если у тебя цифры стоят иначе — просто переставь их в п. 2, схема не изменится.

№ 127

Рисунок перечертить из учебника.

Дано: \(\triangle ABC\) и \(\triangle CDA\); \(AC\) — общая сторона; \(\angle 1=\angle 2\), \(\angle 3=\angle 4\). Доказать: \(\triangle ABC=\triangle CDA\). Найти: \(AB\) и \(BC\), если \(AD=19\) см, \(CD=11\) см.

Доказательство.

1. Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle CDA\).
2. В них:
   • \(AC=CA\) — общая сторона;
   • \(\angle BAC=\angle DCA\) — по условию (\(\angle 1=\angle 2\));
   • \(\angle BCA=\angle DAC\) — по условию (\(\angle 3=\angle 4\)).
3. Следовательно, \(\triangle ABC=\triangle CDA\) по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

Что и требовалось доказать.

б) Решение.

1. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Из \(\triangle ABC=\triangle CDA\) следует \(AB=CD\), \(BC=DA\).
2. Тогда \(AB=11\) см, \(BC=19\) см.

Ответ: \(AB=11\) см, \(BC=19\) см.

Почему именно так, а не иначе

• Запись \(\triangle ABC=\triangle CDA\) читается по порядку: \(A\leftrightarrow C\), \(B\leftrightarrow D\), \(C\leftrightarrow A\). Отсюда \(AB\leftrightarrow CD\) и \(BC\leftrightarrow DA\) — поэтому в пункте б нельзя написать \(AB=AD\).
• Оба угла в п. 2 взяты прилежащими к стороне \(AC\) — по одному в каждом треугольнике. Если взять угол, не прилежащий к \(AC\), второй признак применять нельзя.
• Причину в каждом пункте писать обязательно: без неё балл снижают, даже если вывод верный.

Пришли фото рисунка 59 — подставлю точные номера углов, чтобы запись полностью совпала с учебником.

Итог: почти. Логика верная, но есть недочёты, из-за которых снимут балл.

1. Перепутаны «Найти» и «Доказать». У тебя в шапке «Найти», а дальше «доказать \(\triangle ABC=\triangle CDA\)». В пункте а надо доказать равенство, в пункте б — найти стороны. Это два разных пункта.

2. Нет общей стороны. Признак требует сторону и два прилежащих к ней угла. У тебя перечислены только углы, а потом сразу вывод «соответственно \(\triangle ABC=\triangle CDA\)». Без \(AC=CA\) признак применить нельзя.

3. Формулировка признака записана с ошибкой. У тебя: «Если сторона и два угла прилегающие к ней угла…» — получилось «угла» дважды, и смысл потерялся. Правильно:

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

4. Нет пункта б — а там как раз ответ: \(AB=11\) см, \(BC=19\) см.

Как переписать начисто

Дано: \(\triangle ABC\) и \(\triangle CDA\); \(\angle 1=\angle 2\), \(\angle 3=\angle 4\). Доказать: \(\triangle ABC=\triangle CDA\). Найти (б): \(AB\), \(BC\), если \(AD=19\) см, \(CD=11\) см.

Доказательство.

1. Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle CDA\). В них: — \(AC=CA\) — общая сторона; — \(\angle BAC=\angle DCA\) (это \(\angle 1=\angle 2\)) — по условию; — \(\angle BCA=\angle DAC\) (это \(\angle 3=\angle 4\)) — по условию.
2. Следовательно, \(\triangle ABC=\triangle CDA\) по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

Что и требовалось доказать.

б) Решение. Из равенства треугольников следует \(AB=CD\), \(BC=AD\). Значит, \(AB=11\) см, \(BC=19\) см.

Мелочи, которые тоже важны

• Слово «соответственно» в выводе не подходит — пиши «следовательно» или «поэтому».
• Два угла сами по себе равенство треугольников не дают — обязательно называй сторону.
• На рисунке подпиши все четыре вершины и отметь, что \(AC\) — общая сторона обоих треугольников. Сверь, что цифры 1–4 стоят именно у углов \(\angle BAC\), \(\angle DCA\), \(\angle BCA\), \(\angle DAC\).

Коротко: нет, пока не норм. Идея правильная — второй признак, — но по записи не видно, почему треугольники равны. За такое снимут балл.

Что не так:

1. Нет общей стороны \(AC\). На рисунке она общая, но в доказательстве это надо написать: \(AC=CA\). Без стороны второй признак не работает.
2. Пропущен шаг с углами. Ты пишешь «∠1=∠2, ∠3=∠4», а потом сразу вывод. Нужно назвать углы через вершины и показать, что каждый прилежит к \(AC\).
3. «Соответственно» здесь не подходит — оно не означает «следовательно».
4. Теорема стоит после вывода и заканчивается словами «то \(\triangle ABC=\triangle CDA\)». В формулировке теоремы должно быть «то такие треугольники равны». А применение — отдельной фразой.
5. «Доказать: что …» — лишнее «что».
6. Мелочь: правильно «два прилежащих к ней угла», а не «два прилежащие».

Как оформить часть (а):

Дано: \(\triangle ABC\) и \(\triangle CDA\); \(\angle1=\angle2\), \(\angle3=\angle4\). Доказать: \(\triangle ABC=\triangle CDA\).

Доказательство.

1. Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle CDA\). В них:
   • \(AC=CA\) — общая сторона;
   • \(\angle BAC=\angle DCA\) — по условию (если у тебя \(\angle1=\angle2\) — это именно эти углы);
   • \(\angle BCA=\angle DAC\) — по условию (если \(\angle3=\angle4\) — это они).
2. Следовательно, \(\triangle ABC=\triangle CDA\) по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

Что и требовалось доказать.

Обязательно сверь с рисунком. В пункте 1 подставь те углы, которые у тебя обозначены цифрами. Главное правило: в каждой строке один угол из \(\triangle ABC\), второй — из \(\triangle CDA\), и оба прилежат к \(AC\). Если, например, \(\angle1\) — это \(\angle DAC\), а \(\angle2\) — \(\angle BCA\), то так и пиши.

Если учитель требует формулировку теоремы, напиши её до доказательства отдельным предложением:

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

А в конце доказательства уже не повторяй её с буквами — просто скажи «по второму признаку».

Фото видно. Это нормальный черновик, но на чистовик часть (а) пока не готова. Смысл ты взяла верный — второй признак, — но в записи не хватает главного: какие именно углы равны и почему они прилежат к стороне \(AC\).

Что исправить:

1. Нельзя писать просто \(\angle1=\angle2\) и \(\angle3=\angle4\). Надо назвать углы через вершины: например, \(\angle BAC=\angle DAC\), \(\angle BCA=\angle DCA\) — сверься с номерами на своём рисунке.
2. Сначала перечисляются условия, потом вывод. У тебя вывод \(\triangle ABC=\triangle CDA\) стоит раньше, чем ты применила признак.
3. «Соответственно» здесь не подходит — нужно «следовательно».
4. Формулировка теоремы должна заканчиваться словами «то такие треугольники равны», а не «то \(\triangle ABC=\triangle CDA\)». И правильно: «два прилежащих к ней угла», «двум прилежащим к ней углам».
5. Теорему, если её требуют, пишут до доказательства, а не вместо вывода.

Как оформить часть (а):

Дано: \(\triangle ABC\) и \(\triangle CDA\); \(\angle1=\angle2\), \(\angle3=\angle4\).

Доказать: \(\triangle ABC=\triangle CDA\).

Доказательство.

1. Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle CDA\).
2. В них:
   • \(AC\) — общая сторона, то есть \(AC=CA\);
   • \(\angle BAC=\angle DAC\) — по условию (это углы при вершине \(A\); если у тебя номера стоят наоборот, поменяй местами);
   • \(\angle BCA=\angle DCA\) — по условию (углы при вершине \(C\)).
3. Следовательно, \(\triangle ABC=\triangle CDA\) по стороне и двум прилежащим к ней углам — по второму признаку равенства треугольников.

Что и требовалось доказать.

Главное для понимания: в треугольнике \(ABC\) ты берёшь углы при концах стороны \(AC\), то есть \(\angle BAC\) и \(\angle BCA\). В треугольнике \(CDA\) — тоже углы при концах той же стороны: \(\angle DAC\) и \(\angle DCA\). Именно поэтому сторона \(AC\) подходит как «сторона и два прилежащих к ней угла».

Если номера \(1\)–\(4\) на рисунке стоят не так, как я предположил, просто поставь соответствующие обозначения — схема доказательства не изменится.

Я проверил новое фото: стало лучше — \(AC=CA\) появилась, формулировка признака исправлена, вывод и «что и требовалось доказать» на месте. Но на чистовик часть (а) пока не тянет.

Что осталось не так

1. Углы так и не названы. \(\angle1=\angle2\) и \(\angle3=\angle4\) — это только номера с рисунка. В доказательстве нужно писать, какие именно углы равны: например, \(\angle BAC=\angle DCA\) и \(\angle BCA=\angle DAC\). Иначе не видно, что эти углы прилежат к общей стороне \(AC\), — а без этого второй признак не работает.
2. Нет вводной фразы. Сразу «По условию…», хотя треугольники ещё не введены. Начни так: «Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle CDA\). В них:».
3. «Соответственно» здесь не подходит — нужно «следовательно». И «по теореме второго признака» лучше заменить на «по второму признаку равенства треугольников».
4. Теорема стоит не на месте. Сейчас порядок такой: условия → полный текст теоремы → вывод. В доказательстве достаточно ссылки на признак; полную формулировку либо не пишут, либо выносят до доказательства. Если учитель требует — напиши её отдельным предложением перед «Доказательством».

Как переписать начисто

Дано: \(\triangle ABC\) и \(\triangle CDA\); \(\angle1=\angle2\), \(\angle3=\angle4\). Доказать: \(\triangle ABC=\triangle CDA\).

Доказательство.

1. Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle CDA\). В них:
   • \(AC=CA\) — общая сторона;
   • \(\angle BAC=\angle DCA\) — по условию (это \(\angle1=\angle2\));
   • \(\angle BCA=\angle DAC\) — по условию (это \(\angle3=\angle4\)).
2. Углы \(\angle BAC\) и \(\angle BCA\) прилежат к стороне \(AC\) в \(\triangle ABC\); углы \(\angle DCA\) и \(\angle DAC\) прилежат к стороне \(CA\) в \(\triangle CDA\).
3. Следовательно, \(\triangle ABC=\triangle CDA\) по стороне и двум прилежащим к ней углам — по второму признаку равенства треугольников.

Что и требовалось доказать.

Почему так

• В каждой паре один угол из \(\triangle ABC\), другой — из \(\triangle CDA\), и оба лежат при концах общей стороны \(AC\). Это и есть «сторона и два прилежащих к ней угла».
• Порядок букв в записи \(\triangle ABC=\triangle CDA\) задаёт соответствие вершин: \(A\leftrightarrow C\), \(B\leftrightarrow D\), \(C\leftrightarrow A\). Поэтому в пункте (б) будет \(AB=CD=11\) см и \(BC=AD=19\) см.
• Номера углов сверь с рисунком 59. Если у тебя \(\angle1\) — это, например, \(\angle BCA\), а не \(\angle BAC\), просто поменяй подписи в скобках: схема доказательства не изменится.

Пришли фото рисунка 59 — подставлю точные номера углов, чтобы запись полностью совпала с учебником.

№ 127

а) \(\triangle ABC=\triangle CDA\) по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак): \(AC=CA\) — общая, \(\angle BAC=\angle DCA\), \(\angle BCA=\angle DAC\) — по условию.

б) \(AB=CD=11\) см, \(BC=AD=19\) см.

Ответ: \(AB=11\) см, \(BC=19\) см.

№ 129

\(\triangle TCO=\triangle PBO\) по стороне и двум прилежащим к ней углам: \(CO=BO\) — по условию, \(\angle TCO=\angle PBO=90^\circ\) — по условию, \(\angle TOC=\angle POB\) — вертикальные.

Из равенства треугольников следует: \[ TO=OP,\qquad \angle T=\angle P. \]

Что и требовалось доказать.