Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[ x_1=2,\qquad x_2=3 \]

Оба числа подходят: \(2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0\) и \(3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0\).

Как решать: два способа

Способ 1. Через дискриминант (универсальный)

Для уравнения \(ax^2+bx+c=0\) сначала считают дискриминант:

\[ D=b^2-4ac \]

Здесь \(a=1,\ b=-5,\ c=6\):

\[ D=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \]

Так как \(D>0\), корней два, и они находятся по формуле:

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \]

Подставляем:

\[ x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm1}{2} \]

\[ x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3 \]

Способ 2. По теореме Виета (быстрее, если \(a=1\))

Для приведённого уравнения \(x^2+px+q=0\) сумма корней равна \(-p\), а произведение равно \(q\):

\[ x_1+x_2=5,\qquad x_1\cdot x_2=6 \]

Подбором находим пару чисел: \(2\) и \(3\). Их сумма \(5\), произведение \(6\) — значит, корни \(2\) и \(3\).

Проверка

\[ (x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6 \]

Разложение совпало с исходным уравнением, поэтому корни найдены верно.

Главное правило: если \(D>0\) — два корня, если \(D=0\) — один, если \(D<0\) — действительных корней нет. А при \(a=1\) теорема Виета часто позволяет обойтись без вычисления дискриминанта.