объясни как так получилось

Question

Расшифровка фото нейросетью:
Объяснение и пошаговое решение

4. Чтобы доказать, что прямые параллельны, нужно показать, что их угловые коэффициенты равны.

Угловой коэффициент первой прямой $3x - 1.5y + 1 = 0$:

$$-1.5y = -3x - 1$$

$$y = \frac{-3}{-1.5}x - \frac{1}{-1.5}$$

$$y = 2x + \frac{2}{3}$$

Угловой коэффициент первой прямой $k_{1} = 2$.

Угловой коэффициент второй прямой $2x - y - 3 = 0$: [обрезано]

Answer

Краткий ответ

Прямую $3x - 1.5y + 1 = 0$ привели к «удобному» виду $y = kx + b$. Коэффициент при $x$ после такого преобразования и есть угловой коэффициент: $k_{1} = 2$. У второй прямой $2x - y - 3 = 0$ тоже $k_{2} = 2$, значит, прямые параллельны.

Главная идея

У прямой, записанной в виде

$$y = kx + b,$$

число $k$ показывает наклон: оно равно тангенсу угла наклона прямой к оси $Ox$. У параллельных прямых наклон одинаковый, поэтому равенство угловых коэффициентов и есть доказательство параллельности (при разных $b$ прямые ещё и не совпадают).

Проблема только в том, что уравнение дано в общем виде $Ax + By + C = 0$. Значит, нужно «выразить $y$» — и посмотреть, что получится перед $x$.

Шаги из решения

1. Переносим слагаемые с $x$ и свободный член вправо, оставляя слева только $y$:

$$3x - 1.5y + 1 = 0 \;\Rightarrow\; -1.5y = -3x - 1.$$

При переносе через знак равенства знак меняется: было $+3x$ — стало $-3x$, было $+1$ — стало $-1$.

2. Делим обе части на коэффициент при $y$, то есть на $-1.5$:

$$y = \frac{-3}{-1.5}\,x - \frac{1}{-1.5}.$$

Здесь легко ошибиться со знаками: делим на отрицательное число, поэтому минус на минус даёт плюс:

$$\frac{-3}{-1.5} = 2, \qquad \frac{-1}{-1.5} = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3}.$$

Получаем

$$y = 2x + \frac{2}{3}, \qquad k_{1} = 2.$$

3. То же самое для второй прямой $2x - y - 3 = 0$:

$$-y = -2x + 3 \;\Rightarrow\; y = 2x - 3, \qquad k_{2} = 2.$$

4. Сравниваем: $k_{1} = k_{2} = 2$, свободные члены разные ($\frac{2}{3} \ne -3$), значит прямые параллельны и не совпадают — это и требовалось доказать.

Проверка

Подставим $y = 2x + \frac{2}{3}$ в исходное уравнение: $3x - 1.5\left(2x + \frac{2}{3}\right) + 1 = 3x - 3x - 1 + 1 = 0$. Верно.

Быстрый способ без преобразований: для $Ax + By + C = 0$ угловой коэффициент равен $k = -\frac{A}{B}$. Тогда $k_{1} = -\frac{3}{-1.5} = 2$, $k_{2} = -\frac{2}{-1} = 2$. Тот же результат.

Проверка на параллельность «по коэффициентам»: $\frac{3}{2} = \frac{-1.5}{-1} = 1.5$, а $\frac{1}{-3} \ne 1.5$ — коэффициенты при $x$ и $y$ пропорциональны, а свободные нет, то есть прямые параллельны и различны.

Вывод-правило: чтобы найти угловой коэффициент, вырази $y$ через $x$ и возьми число перед $x$; у параллельных прямых эти числа равны, у перпендикулярных их произведение равно $-1$.