реши 94 по 99 номер

Question

реши 94 по 99 номер

Расшифровка фото нейросетью:
94 На рисунке 52 AB=AC, ∠1=∠2. а) Докажите, что треугольники ABD и ACD равны; б) найдите BD и AB, если AC=15 см, DC=5 см.
95 На рисунке 53 BC=AD, ∠1=∠2. а) Докажите, что треугольники ABC и CDA равны; б) найдите AB и BC, если AD=17 см, DC=14 см.
96 На рисунке 54 OA=OD, OB=OC, ∠1=74°, ∠2=36°. а) Докажите, что треугольники AOB и DOC равны; б) найдите ∠ACD.
97 Отрезки AC и BD точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что △ABC=△CDA.
98 В треугольниках ABC и A1B1C1 AB=A1B1, AC=A1C1, ∠A=∠A1. На сторонах AB и A1B1 отмечены точки P и P1 так, что AP=A1P1. Докажите, что △BPC=△B1P1C1.
99 На сторонах угла CAD отмечены точки B и E так, что точка B лежит на отрезке AC, а точка E — на отрезке AD, причём AC=AD и AB=AE. Докажите, что ∠CBD=∠DEC.
[Рисунок 52: точки A, B, C, D; отрезки AB, AC, AD, BD, CD; ∠1 отмечен между AB и AD, ∠2 — между AD и AC.]
[Рисунок 53: четырёхугольник ABCD с диагональю AC; отмечены углы 1, 2, 3, 4.]
[Рисунок 54: точки A, B, C, D; отрезки AD и BC пересекаются в точке O; отмечены ∠1 при B и ∠2 при C.]

Answer

Кратко:
94 — $BD=5$ см, $AB=15$ см;
95 — $AB=14$ см, $BC=17$ см;
96 — $\angle ACD=74^\circ$;
97–99 — доказательства ниже.

94

а) В треугольниках $ABD$ и $ACD$:

$AB=AC$ по условию;

$AD$ — общая сторона;

$\angle 1=\angle 2$ по условию.

Значит, $\triangle ABD=\triangle ACD$ по двум сторонам и углу между ними.

б) Из равенства треугольников $BD=CD$, $AB=AC$.
Так как $AC=15$ см, $DC=5$ см, получаем:
$$
AB=15\text{ см},\qquad BD=5\text{ см}.
$$

95

а) В треугольниках $ABC$ и $CDA$:

$BC=AD$ по условию;

$AC$ — общая сторона;

$\angle 1=\angle 2$ по условию.

Значит, $\triangle ABC=\triangle CDA$ по двум сторонам и углу между ними.

б) Из равенства треугольников:
$$
AB=CD=14\text{ см},\qquad BC=AD=17\text{ см}.
$$

96

а) В треугольниках $AOB$ и $DOC$:

$OA=OD$ по условию;

$OB=OC$ по условию;

$\angle AOB=\angle DOC$ как вертикальные углы.

Значит, $\triangle AOB=\triangle DOC$ по двум сторонам и углу между ними.

б) Из равенства треугольников следует:
$$
\angle ABO=\angle DCO.
$$
По рисунку $\angle ACD$ совпадает с $\angle DCO$, поэтому
$$
\angle ACD=\angle ABO=\angle 1=74^\circ.
$$

97

Пусть $O$ — точка пересечения $AC$ и $BD$. По условию $AO=OC$, $BO=OD$.

1. $\triangle AOB=\triangle COD$ по двум сторонам и углу между ними ($\angle AOB=\angle COD$ как вертикальные).
Значит, $AB=CD$.

2. $\triangle BOC=\triangle DOA$ по двум сторонам и углу между ними ($\angle BOC=\angle DOA$ как вертикальные).
Значит, $BC=AD$.

3. В треугольниках $ABC$ и $CDA$:
$$
AB=CD,\qquad BC=AD,\qquad AC\text{ — общая}.
$$
По трём сторонам $\triangle ABC=\triangle CDA$.

98

1. $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$ по двум сторонам и углу между ними:
$$
AB=A_1B_1,\qquad AC=A_1C_1,\qquad \angle A=\angle A_1.
$$
Поэтому
$$
BC=B_1C_1,\qquad \angle B=\angle B_1.
$$

2. Так как $AP=A_1P_1$, то
$$
PB=AB-AP=A_1B_1-A_1P_1=P_1B_1.
$$

3. В треугольниках $BPC$ и $B_1P_1C_1$:
$$
PB=P_1B_1,\qquad BC=B_1C_1,\qquad \angle PBC=\angle P_1B_1C_1.
$$
Значит, $\triangle BPC=\triangle B_1P_1C_1$ по двум сторонам и углу между ними.

99

1. $\triangle ABC=\triangle AED$ по двум сторонам и углу между ними:
$$
AB=AE,\qquad AC=AD,\qquad \angle A\text{ — общий}.
$$
Следовательно,
$$
BC=ED.
$$

2. $\triangle ABD=\triangle AEC$ по двум сторонам и углу между ними:
$$
AB=AE,\qquad AD=AC,\qquad \angle A\text{ — общий}.
$$
Следовательно,
$$
BD=EC.
$$

3. В треугольниках $CBD$ и $DEC$:
$$
CB=DE,\qquad BD=EC,\qquad CD\text{ — общая}.
$$
По трём сторонам $\triangle CBD=\triangle DEC$.
Поэтому соответственные углы равны:
$$
\angle CBD=\angle DEC.
$$