номер 361 б

Краткий ответ: \(-11\).

1. Раскрываем скобки: \[ 5x(x+2)=5x^2+10x, \] \[ (1+2x)(2-2x)=2+2x-4x^2. \] Тогда неравенство принимает вид: \[ 5x^2+10x+2+2x-4x^2<0, \] \[ x^2+12x+2<0. \]

2. Находим нули квадратного трёхчлена: \[ x^2+12x+2=0, \] \[ D=12^2-4\cdot 1\cdot 2=144-8=136=(2\sqrt{34})^2, \] \[ x=\frac{-12\pm 2\sqrt{34}}{2}=-6\pm\sqrt{34}. \]

3. Ветви параболы направлены вверх, поэтому выражение отрицательно между корнями: \[ -6-\sqrt{34}<x<-6+\sqrt{34}. \] Так как \(\sqrt{34}\approx 5{,}83\), получаем примерно: \[ -11{,}83<x<-0{,}17. \] Целые решения: \(-11,-10,\ldots,-1\). Наименьшее из них \(-11\).

Проверка: при \(x=-11\) выражение равно \(121-132+2=-9<0\), а при \(x=-12\) равно \(144-144+2=2>0\). Значит, \(-11\) действительно наименьшее целое решение.