Через вершины B и D прямоугольника ABCD проведены прямые B₁B и DD₁, перпендикулярные к плоскости прямоугольника. a) Докажите параллельность плоскостей CBB₁ и DAA₁. б) Отрезок B₁D₁…

Краткий ответ: площадь прямоугольника
\[ S_{ABCD}=48\ \text{см}^2. \]

В пункте а) в записи \(DAA_1\), судя по смыслу, опечатка: точка \(A_1\) в условии не вводилась. Скорее всего, нужна плоскость \(DAD_1\). Если же имелась в виду именно \(DAA_1\), то доказательство такое же — только через перпендикуляр \(AA_1\).

а) Параллельность плоскостей

Рассмотрим плоскости \(CBB_1\) и \(DAD_1\).

• В прямоугольнике \(CB\parallel AD\).
• Прямые \(BB_1\) и \(DD_1\) обе перпендикулярны плоскости прямоугольника, значит, \[ BB_1\parallel DD_1. \]

В плоскости \(CBB_1\) лежат пересекающиеся прямые \(CB\) и \(BB_1\).
В плоскости \(DAD_1\) лежат соответственно параллельные им прямые \(AD\) и \(DD_1\).

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Значит, \[ (CBB_1)\parallel(DAD_1). \]

б) Площадь прямоугольника

Так как отрезок \(B_1D_1\) пересекает плоскость основания \(ABC\), точки \(B_1\) и \(D_1\) лежат по разные стороны от этой плоскости. Поэтому разность их высот равна \[ BB_1+DD_1=12+12=24\ \text{см}. \]

Проекция отрезка \(B_1D_1\) на плоскость основания — это диагональ \(BD\). По теореме Пифагора в пространстве: \[ B_1D_1^2=BD^2+24^2. \] Подставляем \(B_1D_1=26\): \[ 26^2=BD^2+24^2, \] \[ 676=BD^2+576, \] \[ BD^2=100, \] \[ BD=10\ \text{см}. \]

Пусть \[ AB=3x,\qquad BC=4x. \] Так как \(AD=BC=4x\), в прямоугольном треугольнике \(ABD\): \[ BD^2=AB^2+AD^2=(3x)^2+(4x)^2=25x^2. \] Значит, \[ BD=5x. \] Отсюда \[ 5x=10,\qquad x=2. \] Тогда \[ AB=3\cdot2=6\ \text{см},\qquad BC=4\cdot2=8\ \text{см}. \] Площадь: \[ S_{ABCD}=AB\cdot BC=6\cdot8=48\ \text{см}^2. \]

Ответ: \(48\ \text{см}^2\).