Задача 3. Над озерами летели гуси. На каждом садилась половина гусей и еще полгуся, остальные летели дальше. Все гуси сели на семи озерах. Сколько было гусей?
3
Сверь числа и знаки с фото.
Задача 3. Над озерами летели гуси. На каждом садилась половина гусей и еще полгуся, остальные летели дальше. Все гуси сели на семи озерах. Сколько было гусей?
Краткий ответ: 127 гусей.
Это задача на «обратный ход». Если до озера долетело \(x\) гусей, то на нём сели
\[ \frac{x}{2}+\frac12=\frac{x+1}{2}, \]
а дальше полетели
\[ x-\frac{x+1}{2}=\frac{x-1}{2}. \]
Значит, если после озера осталось \(y\) гусей, то до него было
\[ x=2y+1. \]
После седьмого озера осталось \(0\) гусей. Идём с конца:
\[ 0 \rightarrow 1 \rightarrow 3 \rightarrow 7 \rightarrow 15 \rightarrow 31 \rightarrow 63 \rightarrow 127. \]
Здесь \(127\) — число гусей перед первым озером.
Проверка:
| Озеро | Прилетело | Сели | Полетели дальше |
|---|---|---|---|
| 1 | 127 | 64 | 63 |
| 2 | 63 | 32 | 31 |
| 3 | 31 | 16 | 15 |
| 4 | 15 | 8 | 7 |
| 5 | 7 | 4 | 3 |
| 6 | 3 | 2 | 1 |
| 7 | 1 | 1 | 0 |
Всё сходится: после седьмого озера лететь больше некому.
Обсуждение
10 сообщенийА полегче решение можно без длинных уравнений
Да, давай проще — с конца.
Главное правило: если после озера осталось сколько-то гусей, то до озера было вдвое больше и ещё один гусь. То есть каждый раз назад: удвой остаток и прибавь 1.
После седьмого озера осталось \(0\) гусей. Идём назад:
- перед 7-м озером: \(1\) гусь;
- перед 6-м: \(3\);
- перед 5-м: \(7\);
- перед 4-м: \(15\);
- перед 3-м: \(31\);
- перед 2-м: \(63\);
- перед 1-м: \(127\).
Проверим начало: из \(127\) гусей на первом озере сели \(64\), осталось \(63\). Дальше так же: из \(63\) сели \(32\), осталось \(31\), и так до конца.
Ответ: 127 гусей.
4 задача
Не вижу условия четвёртой задачи — пришли её текст или фото. Уточни заодно, что нужно: решить, объяснить или проверить решение.
4
Ответ: 21 копейка.
Решаем с конца — так проще всего.
После третьего прохода денег осталось \(0\). Значит, перед уплатой 24 копеек у него было \(24\) копейки, а до третьего моста — вдвое меньше:
\[ 24:2=12 \text{ коп.} \]
Перед вторым мостом:
\[ (12+24):2=18 \text{ коп.} \]
Перед первым мостом:
\[ (18+24):2=21 \text{ коп.} \]
Проверка:
- было \(21\), удвоилось — \(42\), отдал \(24\) — осталось \(18\);
- удвоилось — \(36\), отдал \(24\) — осталось \(12\);
- удвоилось — \(24\), отдал \(24\) — осталось \(0\).
Всё сходится.
5
Ответ: у ковбоя Макса в начале было 120 монет.
Решаем с конца. Всего монет:
\[ 75+165=240 \]
После третьего дня у Макса осталось \(75\), значит перед третьим днём у него было \(150\), а у Гоши — \(90\).
Перед вторым днём у Гоши после игры осталось \(90\), то есть половина. Значит, до второго дня у него было \(180\). Макс получил \(90\) монет, поэтому до этого у него было:
\[ 150-90=60 \]
Перед первым днём у Макса осталось \(60\) — это половина его начальных монет. Значит, сначала у него было:
\[ 60\cdot 2=120 \]
Проверка:
- начало: Макс — 120, Гоша — 120;
- после 1-го дня: Макс — 60, Гоша — 180;
- после 2-го дня: Макс — 150, Гоша — 90;
- после 3-го дня: Макс — 75, Гоша — 165.
Всё сходится.
Задача 7. Ответ: младшему 7 лет, среднему 10 лет, старшему 16 лет.
Всего 24 бублика, значит после всех переделов у каждого стало по
\[ 24:3=8 \]
бубликов.
Решаем с конца. Записываем, сколько бубликов было у младшего, среднего и старшего.
- Перед последним дележом старший имел \(16\) бубликов, отдал по \(4\) каждому:
\[ (4,\ 4,\ 16) \]
- Перед дележом среднего:
\[ (2,\ 8,\ 14) \]
- Перед дележом младшего — это и есть первоначальные доли:
\[ (4,\ 7,\ 13) \]
То есть сначала братья получили \(4\), \(7\) и \(13\) бубликов. Каждый получил на 3 бублика меньше, чем ему лет, поэтому возраст:
\[ 4+3=7,\qquad 7+3=10,\qquad 13+3=16 \]
Проверка: \(4+7+13=24\), и \(7+10+16=33\). Всё сходится.
