Через вершины B и D прямоугольника ABCD проведены прямые B₁B и DD₁, перпендикулярные к плоскости прямоугольника. a) Докажите параллельность плоскостей CBB₁ и DAA₁. б) Отрезок B₁D₁…

Кратко: плоскости \(CBB_1\) и \(ADD_1\) параллельны; площадь прямоугольника равна \(48\ \text{см}^2\).

В записи \(DAA_1\) точка \(A_1\), видимо, опечатка: в условии она не введена. В стандартном варианте задачи речь о плоскости \(ADD_1\). Если же \(A_1\) лежит на перпендикуляре к плоскости через \(A\), доказательство точно такое же.

а) Доказательство

Пусть \((ABC)\) — плоскость прямоугольника.

Так как \[ BB_1\perp (ABC),\qquad DD_1\perp (ABC), \] то \[ BB_1\parallel DD_1. \]

В прямоугольнике противоположные стороны параллельны: \[ BC\parallel AD. \]

В плоскости \(CBB_1\) лежат пересекающиеся прямые \(BC\) и \(BB_1\), а в плоскости \(ADD_1\) — прямые \(AD\) и \(DD_1\). Эти прямые соответственно параллельны. По признаку параллельности плоскостей: \[ (CBB_1)\parallel (ADD_1). \]

б) Площадь прямоугольника

Отрезок \(B_1D_1\) пересекает плоскость \((ABC)\). Значит, точки \(B_1\) и \(D_1\) лежат по разные стороны от этой плоскости. Так как \[ BB_1=DD_1=12\text{ см}, \] разность их высот равна \[ 12+12=24\text{ см}. \]

Ортогональная проекция \(B_1D_1\) на плоскость прямоугольника — это диагональ \(BD\). Поэтому \[ B_1D_1^2=BD^2+24^2. \] Подставляем: \[ 26^2=BD^2+24^2, \] \[ 676=BD^2+576, \] \[ BD^2=100, \] \[ BD=10\text{ см}. \]

Пусть \[ AB=3x,\qquad BC=4x. \] Тогда \(AD=BC=4x\), и по теореме Пифагора в прямоугольнике: \[ BD^2=AB^2+AD^2, \] \[ 10^2=(3x)^2+(4x)^2, \] \[ 100=9x^2+16x^2=25x^2, \] \[ x^2=4. \]

Значит, \[ AB=6\text{ см},\qquad BC=8\text{ см}. \] Площадь: \[ S=AB\cdot BC=6\cdot 8=48\ \text{см}^2. \]

Ответ: \(48\ \text{см}^2\).

Проверка: стороны \(6\) и \(8\), диагональ \(\sqrt{6^2+8^2}=10\), а \(\sqrt{10^2+24^2}=26\).