Номер 230 б

Ответ: \( m \in (-\infty;\, -6) \cup (1;\, +\infty) \).

Как решать

Рассматриваем левую часть как квадратный трёхчлен относительно \(x\): \[ x^2+(2m-6)x+(2m^2-m+3)>0. \]

Старший коэффициент равен 1, то есть \(1>0\): парабола направлена ветвями вверх. Она находится выше оси \(Ox\) при любом \(x\) тогда и только тогда, когда не пересекает эту ось, то есть когда дискриминант отрицателен:

\[ D=(2m-6)^2-4(2m^2-m+3). \]

Раскрываем: \[ D=4m^2-24m+36-8m^2+4m-12=-4m^2-20m+24. \]

Условие \(D<0\): \[ -4m^2-20m+24<0. \]

Делим на \(-4\) (знак неравенства меняется): \[ m^2+5m-6>0, \] \[ (m+6)(m-1)>0. \]

Отсюда: \[ m<-6 \quad \text{или} \quad m>1. \]

Проверка

• При \(m=1\): \(x^2-4x+4=(x-2)^2\), при \(x=2\) получается 0 — строгое неравенство не выполнено, поэтому \(m=1\) не входит.
• При \(m=-6\): \(x^2-18x+81=(x-9)^2\), аналогично 0 при \(x=9\), поэтому \(m=-6\) тоже не входит.
• При \(m=2\): \(x^2-2x+9=(x-1)^2+8>0\) при любом \(x\) — подходит.

Значит, концы интервалов не включаются, и ответ: \[ \boxed{m \in (-\infty;\, -6)\cup(1;\, +\infty)} \]

Ответ:
\[ b\in\left(\frac32;\,+\infty\right). \]

Решение с объяснением

Нужно, чтобы неравенство \[ bx^2-3x+b>0 \] было верно при любых \(x\).

1. Проверяем случай \(b=0\)

Тогда выражение превращается в \[ -3x. \] Например, при \(x=1\) получаем \(-3<0\), а не \(>0\). Значит, \(b=0\) не подходит.

2. Почему нужно \(b>0\)

Если \(b<0\), график функции \[ y=bx^2-3x+b \] — парабола ветвями вниз. При больших по модулю \(x\) значения функции становятся отрицательными, поэтому она не может быть положительной при всех \(x\).

Значит, обязательно \[ b>0. \]

3. Условие для параболы

При \(b>0\) ветви параболы направлены вверх. Она будет лежать выше оси \(Ox\) при всех \(x\), если не имеет точек пересечения с этой осью, то есть если дискриминант отрицателен: \[ D<0. \]

Считаем дискриминант: \[ D=(-3)^2-4\cdot b\cdot b=9-4b^2. \] Значит, \[ 9-4b^2<0. \] Отсюда: \[ 4b^2>9, \] \[ b^2>\frac94. \] Так как \(b>0\), получаем: \[ b>\frac32. \]

Проверка границы

При \(b=\frac32\): \[ \frac32x^2-3x+\frac32 =\frac32(x-1)^2. \] При \(x=1\) выражение равно \(0\), а нужно строго больше \(0\). Поэтому \(b=\frac32\) не включается.

Ответ: \[ b\in\left(\frac32;\,+\infty\right). \]

240 б)

\[ (2x-3)^4(x^2-x)>(x-1)(2x-3)^4 \]

Переносим всё в левую часть и выносим общий множитель \((2x-3)^4\):

\[ (2x-3)^4\bigl((x^2-x)-(x-1)\bigr)>0 \]

\[ (2x-3)^4(x^2-2x+1)>0 \]

\[ (2x-3)^4(x-1)^2>0 \]

Обе степени чётные, поэтому множители неотрицательны. Произведение строго больше нуля тогда, когда ни один множитель не равен нулю:

\[ 2x-3\ne 0 \quad\text{и}\quad x-1\ne 0 \]

\[ x\ne \frac32,\qquad x\ne 1 \]

Ответ б): \[ \boxed{x\in(-\infty;1)\cup\left(1;\frac32\right)\cup\left(\frac32;+\infty\right)} \]

240 г)

\[ (x+6)^2(x^2+x-1)<(x^2+3x)(x+6)^2 \]

Переносим всё влево и выносим \((x+6)^2\):

\[ (x+6)^2\bigl((x^2+x-1)-(x^2+3x)\bigr)<0 \]

Упрощаем выражение в скобках:

\[ x^2+x-1-x^2-3x=-2x-1 \]

Получаем:

\[ (x+6)^2(-2x-1)<0 \]

Квадрат \((x+6)^2\) неотрицателен. При \(x=-6\) он равен нулю, поэтому левая часть равна нулю — это не решение. Для всех \(x\ne -6\) квадрат положителен, значит, знак произведения определяется выражением \(-2x-1\):

\[ -2x-1<0 \]

\[ -2x<1 \]

\[ x>-\frac12 \]

Ответ г): \[ \boxed{x\in\left(-\frac12;+\infty\right)} \]

Кратко

\[ \boxed{\text{б) }x\in(-\infty;1)\cup\left(1;\frac32\right)\cup\left(\frac32;+\infty\right)} \]

\[ \boxed{\text{г) }x\in\left(-\frac12;+\infty\right)} \]

Главный приём: перенести всё в одну сторону и вынести общий множитель, а затем учитывать знак каждого множителя.

Ответ: \[ \boxed{x\in(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup[6;+\infty)} \]

Объяснение

Выражение имеет смысл, если:

1. подкоренное выражение неотрицательно: \[ (x^2-6x)(x^2+2)\ge 0; \]

2. знаменатель не равен нулю: \[ x^2+x\ne 0. \]

Так как \[ x^2+2>0 \] при любом \(x\), знак подкоренного выражения определяется множителем \(x^2-6x\): \[ x^2-6x\ge 0, \] \[ x(x-6)\ge 0. \] Отсюда: \[ x\le 0 \quad \text{или} \quad x\ge 6. \]

Теперь учитываем знаменатель: \[ x^2+x\ne 0, \] \[ x(x+1)\ne 0, \] \[ x\ne 0,\qquad x\ne -1. \]

Убираем из промежутка \(x\le 0\) точки \(0\) и \(-1\), а промежуток \(x\ge 6\) оставляем:

\[ \boxed{x\in(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup[6;+\infty)}. \]

Например, \(x=6\) подходит: под корнем получается \(0\), а знаменатель равен \(42\). А \(x=0\) и \(x=-1\) не подходят, потому что тогда знаменатель равен нулю.