В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH и медиану AN. Оказалось, что 2∠NAC = ∠NCA и AH = 1. Найдите BC.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
В остроугольном треугольнике $ABC$ провели высоту $BH$ и медиану $AN$. Оказалось, что $2\angle NAC = \angle NCA$ и $AH = 1$. Найдите $BC$. [Рисунок: треугольник $ABC$, $B$ сверху, $A$ слева внизу, $C$ справа внизу; $H$ лежит на $AC$, $BH\perp AC$ с отметкой прямого угла; $N$ лежит на $BC$, проведена $AN$.]

Answer

Пусть $AC=x$, $BH=h$. Тогда $CH=x-1$, а $N$ — середина $BC$, поэтому
$$
\tan\angle NAC=\frac{h}{x+1},\qquad \tan\angle NCA=\frac{h}{x-1}.
$$
Из условия $\angle NCA=2\angle NAC$:
$$
\frac{h}{x-1}=\frac{2h}{x+1}\cdot\frac{1}{1-\frac{h^2}{(x+1)^2}}
$$
откуда
$$
h^2=4-(x-1)^2.
$$
Следовательно,
$$
BC^2=(x-1)^2+h^2=4.
$$

Ответ: $BC=2$.