Теңдеуді шешіңдер (7.1–7.4): 7.1. а) sinx = -√2/2; ә) sinx = √3/2; б) cosx = 1/2; в) cosx = -√3/2

На фото видны задания 7.1–7.3; пункт 7.4 в кадр не попал. Решаю видимые. Во всех ответах \(k\in\mathbb Z\).

Краткие ответы

7.1.

• а) \(x=(-1)^{k+1}\dfrac{\pi}{4}+\pi k\);
• ә) \(x=(-1)^k\dfrac{\pi}{3}+\pi k\);
• б) \(x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k\);
• в) \(x=\pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k\).

7.2.

• а) \(x=\arctan 2+\pi k\);
• ә) \(x=-\arctan\dfrac{1}{3}+\pi k\);
• б) \(x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi k\);
• в) \(x=\dfrac{\pi}{6}+\pi k\).

7.3.

• а) \(x=3\pi k\);
• ә) \(x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2}\);
• б) \(x=\dfrac{2\pi k}{3}\);
• в) \(x=-\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{2\pi k}{5}\).

Как это получается

Основные формулы:

\[ \sin x=a \Rightarrow x=(-1)^k\arcsin a+\pi k, \qquad \cos x=a \Rightarrow x=\pm\arccos a+2\pi k. \]

\[ \mathrm{tg}\,x=a \Rightarrow x=\mathrm{arctg}\,a+\pi k, \qquad \mathrm{ctg}\,x=a \Rightarrow x=\mathrm{arcctg}\,a+\pi k. \]

У синуса и косинуса период \(2\pi\), у тангенса и котангенса — \(\pi\).

Например, в 7.1 а:

\[ \arcsin\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=-\frac{\pi}{4}, \]

поэтому

\[ x=(-1)^k\left(-\frac{\pi}{4}\right)+\pi k =(-1)^{k+1}\frac{\pi}{4}+\pi k. \]

В 7.2 ә:

\[ \mathrm{ctg}\,x=-3 \Rightarrow \mathrm{tg}\,x=-\frac13, \]

значит,

\[ x=-\arctan\frac13+\pi k. \]

В 7.3 сначала решают уравнение относительно внутреннего угла, а потом делят или умножают:

• \(5\cos 3x-5=0 \Rightarrow \cos 3x=1 \Rightarrow 3x=2\pi k \Rightarrow x=\dfrac{2\pi k}{3}\);
• \(6\sin 5x+6=0 \Rightarrow \sin 5x=-1 \Rightarrow 5x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k \Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{2\pi k}{5}\).

Проверка для последнего: при \(x=-\frac{\pi}{10}\) имеем \(5x=-\frac{\pi}{2}\), \(\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1\), тогда \(6(-1)+6=0\). Всё верно.

Если нужен ещё 7.4, пришлите кадр с ним — решу отдельно.