реши в формате огэ с подробным объяснением, не понимаю как делать
Сверь числа и знаки с фото.
- \[ \frac{-10}{(x-3)^{2}-5} \ge 0 \]
Краткий ответ: \(x \in (\,3-\sqrt{5};\ 3+\sqrt{5}\,)\).
Задание. Решить неравенство
\[ \frac{-10}{(x-3)^2-5} \ge 0 . \]
Шаг 1. Оцениваем числитель. Числитель равен \(-10\) при любом \(x\): он всегда отрицательный и никогда не равен нулю. Значит, сама дробь нулю равняться не может, и запись «\(\ge 0\)» означает просто «дробь положительна».
Шаг 2. Знак дроби. Дробь положительна тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель одного знака. Числитель со знаком «минус», поэтому и знаменатель должен быть отрицательным:
\[ (x-3)^2-5<0 . \]
Неравенство строгое: при нулевом знаменателе дроби не существует (это ОДЗ).
Шаг 3. Решаем.
\[ (x-3)^2<5 \quad\Longleftrightarrow\quad |x-3|<\sqrt{5}. \]
Раскрываем модуль:
\[ -\sqrt{5}<x-3<\sqrt{5}, \]
\[ 3-\sqrt{5}<x<3+\sqrt{5}. \]
Шаг 4. Проверка подстановкой. Беру \(x=3\): знаменатель \((3-3)^2-5=-5\), дробь равна \(\frac{-10}{-5}=2>0\) — подходит. Беру \(x=0\): знаменатель \(4\), дробь \(-2{,}5<0\) — не подходит, и правда \(0<3-\sqrt5\approx0{,}76\), точка вне ответа. Всё сходится.
Ответ: \(x\in(3-\sqrt5;\ 3+\sqrt5)\), приближённо \((0{,}76;\ 5{,}24)\).
Принцип для похожих заданий. Дробь нельзя «просто умножить» на знаменатель: его знак неизвестен, а при умножении на отрицательное знак неравенства переворачивается. Поэтому разбираем числитель и знаменатель по отдельности: дробь \(\ge 0\) — это «числитель и знаменатель одного знака», дробь \(\le 0\) — «разных знаков», плюс условие «знаменатель \(\ne 0\)». Если и числитель, и знаменатель зависят от \(x\), удобен метод интервалов: наносим на ось нули числителя и знаменателя (нули знаменателя — выколотые), расставляем знаки и выбираем нужные промежутки. Здесь числитель постоянный, поэтому всё свелось к одному неравенству для знаменателя.
Обсуждение
2 сообщенияА если знак будет ≤ 0? Покажи решение
Краткий ответ:
\[ x\in(-\infty;\ 3-\sqrt5)\cup(3+\sqrt5;\ +\infty). \]
Задание. Решить неравенство
\[ \frac{-10}{(x-3)^2-5}\le 0 . \]
Шаг 1. Числитель. Он равен \(-10\) при любом \(x\), то есть всегда отрицателен и нулю не равен. Значит, нулей у дроби нет: вариант «дробь равна нулю» здесь невозможен.
Шаг 2. Условие на знак. Дробь \(\le 0\) — это «числитель и знаменатель разных знаков». Числитель отрицательный, значит знаменатель должен быть положительным:
\[ (x-3)^2-5>0 . \]
Строгое неравенство: при нулевом знаменателе дроби не существует (ОДЗ).
Шаг 3. Решаем.
\[ (x-3)^2>5 \quad\Longleftrightarrow\quad |x-3|>\sqrt5 . \]
Модуль больше числа раскрывается как «дальше от центра в обе стороны»:
\[ x-3<-\sqrt5 \quad\text{или}\quad x-3>\sqrt5, \]
\[ x<3-\sqrt5 \quad\text{или}\quad x>3+\sqrt5 . \]
Шаг 4. Проверка. Беру \(x=0\): знаменатель \((-3)^2-5=4\), дробь \(\frac{-10}{4}=-2{,}5\le 0\) — подходит, и точка \(0\) действительно лежит левее \(3-\sqrt5\approx0{,}76\). Беру \(x=3\): знаменатель \(-5\), дробь \(2>0\) — не подходит, точка внутри «запретной» середины. Беру \(x=6\): знаменатель \(9-5=4\), дробь \(-2{,}5\le0\) — подходит. Всё верно.
Ответ: \(x\in(-\infty;\ 3-\sqrt5)\cup(3+\sqrt5;\ +\infty)\), приближённо \(x\in(-\infty;\ 0{,}76)\cup(5{,}24;\ +\infty)\).
Как связаны два случая. Сравни с предыдущим заданием:
- при знаке \(\ge 0\) требовался знаменатель \(<0\) — получился отрезок-«середина» \((3-\sqrt5;\ 3+\sqrt5)\);
- при знаке \(\le 0\) требуется знаменатель \(>0\) — получаются два луча «снаружи».
Вместе эти два множества покрывают всю числовую прямую, кроме точек \(x=3\pm\sqrt5\). Так и должно быть: в этих точках знаменатель равен нулю, дробь не существует, поэтому они не входят ни в один ответ.
Принцип для похожих заданий — метод интервалов. Найди нули числителя и нули знаменателя, отметь их на оси (нули знаменателя — всегда выколотые), определи знак дроби в каждом промежутке и выбери те, где знак подходит под условие. Обрати внимание: при переходе через точку, где множитель стоит в чётной степени, знак не меняется — в этой задаче \((x-3)^2\) как раз даёт «два одинаковых нуля» \(x=3\pm\sqrt5\), поэтому знак дроби сохраняется на всей середине и на обоих лучах.
