Контрольная работа №4 Функции и их свойства
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Контрольная работа №4 Функции и их свойства Вариант 1
Дана функция \(y=-4x+1\). При каких значениях аргумента \(f(x)=0\), \(f(x)<0\), \(f(x)>0\)? Является ли эта функция возрастающей или убывающей? Ответ объясните.
Найдите область определения функции:
- \(y=\sqrt{5x-2}\); 2) \(y=\frac{1}{2x^2-5x-3}\).
Постройте график функции \(y=x^2+4x-5\). С помощью графика найдите: а) область определения и область значения; б) нули функции; в) промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания; д) наибольшее и наименьшее значения функции, если они имеются.
Каждый график соотнесите с соответствующей формулой [Рисунок: три графика с подписями А, Б, В в координатных осях.] Графики Формулы
- \(y=|x|\); 2) \(y=x^3\); 3) \(y=-\frac{1}{x}\); 4) \(y=\sqrt{x}\); 5) \(y=x^2\); 6) \(y=\frac{1}{x}\). Ответ: [таблица А, Б, В]
- (Дополнительное задание.) При каком значении \(p\) прямая \(y=-2x+p\) имеет с параболой \(y=x^2+2x\) ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки.
Контрольная работа №4 Функции и их свойства Вариант 2
Дана функция \(y=6x-7\). При каких значениях аргумента \(f(x)=0\), \(f(x)<0\), \(f(x)>0\)? Является ли эта функция возрастающей или убывающей? Ответ объясните.
Найдите область определения функции:
- \(y=\sqrt{3-8x}\); 2) \(y=\frac{3}{6x^2-5x+1}\).
Постройте график функции \(y=-x^2-4x+5\). С помощью графика найдите: а) область определения и область значения; б) нули функции; в) промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания; д) наибольшее и наименьшее значения функции, если они имеются.
Каждый график соотнесите с соответствующей формулой [Рисунок: три графика с подписями А, Б, В в координатных осях.] Графики Формулы
- \(y=-\frac{1}{x}\); 2) \(y=x^2\); 3) \(y=|x|\); 4) \(y=\sqrt{x}\); 5) \(y=-x^2\); 6) \(y=x^3\). Ответ: [таблица А, Б, В]
- (Дополнительное задание.) Найдите все значения \(k\), при каждом из которых прямая \(y=kx\) имеет с графиком функции \(y=x^2+4\) ровно одну общую точку. Найдите координаты этих точек.
На фото два варианта контрольной — решаю оба.
Вариант 1
\(f(x)=-4x+1\).
Ответ: \(f(x)=0\) при \(x=\frac14\); \(f(x)<0\) при \(x>\frac14\); \(f(x)>0\) при \(x<\frac14\). Функция убывает на \(\mathbb R\), так как коэффициент при \(x\) равен \(-4<0\).Ответ:
- \(D(y)=\left[\frac25;+\infty\right)\), потому что \(5x-2\ge0\).
- \(D(y)=\left(-\infty;-\frac12\right)\cup\left(-\frac12;3\right)\cup(3;+\infty)\), так как
\[ 2x^2-5x-3=(2x+1)(x-3), \] а знаменатель не должен равняться нулю.
\(y=x^2+4x-5\).
Ответ: ветви параболы направлены вверх; вершина: \[ x_0=-\frac{4}{2}=-2,\qquad y_0=(-2)^2+4(-2)-5=-9. \] Вершина: \((-2;-9)\). Нули: \(x=-5\) и \(x=1\).- \(D(y)=\mathbb R\), \(E(y)=[-9;+\infty)\);
- \(y>0\) на \((-\infty;-5)\cup(1;+\infty)\);
- \(y<0\) на \((-5;1)\);
- убывает на \((-\infty;-2]\), возрастает на \([-2;+\infty)\);
- наименьшее значение \(-9\) при \(x=-2\), наибольшего нет.
Ответ: А — 3, Б — 5, В — 2.
То есть А: \(y=-\frac1x\), Б: \(y=x^2\), В: \(y=x^3\).Приравняем: \[ x^2+2x=-2x+p \quad\Rightarrow\quad x^2+4x-p=0. \] Ровно одна общая точка — когда дискриминант равен нулю: \[ D=16+4p=0 \quad\Rightarrow\quad p=-4. \] Тогда \(x=-2\), \(y=0\).
Ответ: \(p=-4\), точка \((-2;0)\).
Вариант 2
\(f(x)=6x-7\).
Ответ: \(f(x)=0\) при \(x=\frac76\); \(f(x)<0\) при \(x<\frac76\); \(f(x)>0\) при \(x>\frac76\). Функция возрастает, так как \(6>0\).Ответ:
- \(D(y)=\left(-\infty;\frac38\right]\), потому что \(3-8x\ge0\).
- \(D(y)=\left(-\infty;\frac13\right)\cup\left(\frac13;\frac12\right)\cup\left(\frac12;+\infty\right)\), так как
\[ 6x^2-5x+1=(2x-1)(3x-1), \] а знаменатель не равен нулю.
\(y=-x^2-4x+5\).
Ответ: ветви направлены вниз; вершина: \[ x_0=\frac{-(-4)}{2(-1)}=-2,\qquad y_0=-(-2)^2-4(-2)+5=9. \] Вершина: \((-2;9)\). Нули: \(x=-5\) и \(x=1\).- \(D(y)=\mathbb R\), \(E(y)=(-\infty;9]\);
- \(y>0\) на \((-5;1)\);
- \(y<0\) на \((-\infty;-5)\cup(1;+\infty)\);
- возрастает на \((-\infty;-2]\), убывает на \([-2;+\infty)\);
- наибольшее значение \(9\) при \(x=-2\), наименьшего нет.
Ответ: А — 5, Б — 1, В — 6.
То есть А: \(y=-x^2\), Б: \(y=-\frac1x\), В: \(y=x^3\).Приравняем: \[ x^2+4=kx \quad\Rightarrow\quad x^2-kx+4=0. \] Одна общая точка — при нулевом дискриминанте: \[ k^2-16=0 \quad\Rightarrow\quad k=\pm4. \] При \(k=4\): \(x=2,\ y=8\).
При \(k=-4\): \(x=-2,\ y=8\).
Ответ: \(k=4\), точка \((2;8)\); \(k=-4\), точка \((-2;8)\).
