1) ∛27·∛27/∛216; 2) ∛24·∛84/∛252; 3) ∛343·∛49/∛49; 4) ∛48²·∛864/∛144; 5) √5,5·√12,5/√0,0044

Краткие ответы

В номерах 1–4 — кубические корни. Главный приём: произведение и частное корней одной степени можно собрать под один корень: \[ \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab},\qquad \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac ab}. \]

Как это получается

1) \[ \frac{\sqrt[3]{27}\cdot\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{216}} =\frac{3\cdot3}{6}=\frac32. \]

2) \[ \frac{\sqrt[3]{24}\cdot\sqrt[3]{84}}{\sqrt[3]{252}} =\sqrt[3]{\frac{24\cdot84}{252}} =\sqrt[3]{8}=2. \]

3) \[ \frac{\sqrt[3]{343}\cdot\sqrt[3]{49}}{\sqrt[3]{49}} =\sqrt[3]{343}=7. \]

4) \[ \frac{\sqrt[3]{48^2}\cdot\sqrt[3]{864}}{\sqrt[3]{144}} =\sqrt[3]{48^2\cdot\frac{864}{144}} =\sqrt[3]{48^2\cdot6}. \] Но \[ 48^2\cdot6=13\,824=24^3, \] поэтому ответ \(24\).

5) \[ \frac{\sqrt{5{,}5}\cdot\sqrt{12{,}5}}{\sqrt{0{,}0044}} =\sqrt{\frac{5{,}5\cdot12{,}5}{0{,}0044}} =\sqrt{15\,625}=125, \] так как \(125^2=15\,625\).

6) Найдите значение выражения

Сначала выражение упрощают, а потом подставляют числа — так радикалы часто сокращаются.

а) \[ \frac{xy^2-y^3}{32xy}\cdot\frac{4x}{x-y} = \frac{y^2(x-y)}{32xy}\cdot\frac{4x}{x-y} =\frac y8. \] При \(y=-56\): \[ \frac{-56}{8}=-7. \]

б) \[ \frac{x^2y^2+4xy^3}{12x^2y}\cdot\frac{3x}{x+4y} = \frac{xy^2(x+4y)}{12x^2y}\cdot\frac{3x}{x+4y} =\frac y4. \] При \(y=19\): \[ \frac{19}{4}=4{,}75. \]

в) \[ 9(10a-b)^2+180ab =900a^2+9b^2. \] Подставляем \(a=1{,}8\), \(b=3\sqrt6\): \[ 900\cdot(1{,}8)^2+9\cdot(3\sqrt6)^2 =900\cdot3{,}24+9\cdot54 =3402. \]

г) \[ 0{,}5(2a+5b)^2-10ab =2a^2+12{,}5b^2. \] Подставляем \(a=5\sqrt{10}\), \(b=10\sqrt2\): \[ 2\cdot250+12{,}5\cdot200 =500+2500=3000. \]

д) \[ \frac{12(x^3y^4)^5}{x^{16}y^{17}} = \frac{12x^{15}y^{20}}{x^{16}y^{17}} = \frac{12y^3}{x}. \] При \(x=0{,}8\), \(y=9\): \[ \frac{12\cdot9^3}{0{,}8} =\frac{12\cdot729}{0{,}8} =10\,935. \]