194 Решите систему неравенств:
194
Сверь числа и знаки с фото.
194 Решите систему неравенств: а) \[ \begin{cases} x^2+x-6<0,\\ -x^2+2x+3>0; \end{cases} \] б) \[ \begin{cases} x^2+4x-5>0,\\ x^2-2x-8<0. \end{cases} \]
Краткий ответ: а) \(x\in(-1;\,2)\); б) \(x\in(1;\,4)\).
Как решать систему квадратных неравенств
- Решаем каждое неравенство отдельно.
- Находим корни соответствующего квадратного уравнения.
- Определяем, где парабола ниже или выше оси \(Ox\).
- Берём пересечение решений — ведь система означает «должно выполняться и первое, и второе неравенство».
а)
\[ x^2+x-6<0 \]
Корни: \(x=-3\) и \(x=2\). Ветви параболы направлены вверх, поэтому выражение отрицательно между корнями:
\[ -3<x<2. \]
Второе неравенство:
\[ -x^2+2x+3>0. \]
Умножим на \(-1\), при этом знак неравенства меняется:
\[ x^2-2x-3<0. \]
Корни: \(x=-1\) и \(x=3\), значит
\[ -1<x<3. \]
Пересекаем:
\[ (-3;2)\cap(-1;3)=(-1;2). \]
б)
\[ x^2+4x-5>0 \]
Корни: \(x=-5\) и \(x=1\). Парабола выше оси вне промежутка между корнями:
\[ x<-5 \quad \text{или}\quad x>1. \]
Второе неравенство:
\[ x^2-2x-8<0. \]
Корни: \(x=-2\) и \(x=4\), поэтому
\[ -2<x<4. \]
Пересекаем:
\[ \bigl((-\infty;-5)\cup(1;+\infty)\bigr)\cap(-2;4)=(1;4). \]
Проверка. Для пункта а) возьмём \(x=0\): \(0+0-6<0\) — верно, \(0+0+3>0\) — верно. Для пункта б) возьмём \(x=2\): \(4+8-5=7>0\), \(4-4-8=-8<0\) — верно.
Границы не включаются, потому что все неравенства строгие.
Обсуждение
4 сообщенияСзделай полный премер без письменности
\[ \begin{aligned} a)\quad &\begin{cases} x^2+x-6<0,\\ -x^2+2x+3>0 \end{cases} \\[2pt] \iff\;& \begin{cases} (x+3)(x-2)<0,\\ x^2-2x-3<0 \end{cases} \\[2pt] \iff\;& \begin{cases} -3<x<2,\\ (x+1)(x-3)<0 \end{cases} \\[2pt] \iff\;& \begin{cases} -3<x<2,\\ -1<x<3 \end{cases} \\[2pt] \iff\;& -1<x<2 \\[2pt] &\boxed{x\in(-1;\,2)} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} b)\quad &\begin{cases} x^2+4x-5>0,\\ x^2-2x-8<0 \end{cases} \\[2pt] \iff\;& \begin{cases} (x+5)(x-1)>0,\\ (x-4)(x+2)<0 \end{cases} \\[2pt] \iff\;& \begin{cases} x\in(-\infty;-5)\cup(1;+\infty),\\ -2<x<4 \end{cases} \\[2pt] \iff\;& 1<x<4 \\[2pt] &\boxed{x\in(1;\,4)} \end{aligned} \]
Сзделай через дискриминант
\[ \begin{aligned} \text{а)}\quad &\begin{cases} x^2+x-6<0,\\ -x^2+2x+3>0 \end{cases} \\[4pt] &\;x^2+x-6=0:\quad D=1^2-4\cdot1\cdot(-6)=25,\quad x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{-1\pm5}{2}, \\[2pt] &\;x_1=-3,\quad x_2=2,\quad a=1>0\;\Rightarrow\;-3<x<2; \\[4pt] &\;-x^2+2x+3=0:\quad D=2^2-4\cdot(-1)\cdot3=16,\quad x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{16}}{2\cdot(-1)}=\frac{-2\pm4}{-2}, \\[2pt] &\;x_1=\frac{-2+4}{-2}=-1,\quad x_2=\frac{-2-4}{-2}=3,\quad a=-1<0\;\Rightarrow\;-1<x<3; \\[4pt] &\;(-3;\,2)\cap(-1;\,3)=(-1;\,2) \\[2pt] &\;\boxed{x\in(-1;\,2)} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{б)}\quad &\begin{cases} x^2+4x-5>0,\\ x^2-2x-8<0 \end{cases} \\[4pt] &\;x^2+4x-5=0:\quad D=4^2-4\cdot1\cdot(-5)=36,\quad x_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{-4\pm6}{2}, \\[2pt] &\;x_1=\frac{-4+6}{2}=1,\quad x_2=\frac{-4-6}{2}=-5,\quad a=1>0 \;\Rightarrow\;x<-5\ \text{или}\ x>1; \\[4pt] &\;x^2-2x-8=0:\quad D=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-8)=36,\quad x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{2\pm6}{2}, \\[2pt] &\;x_1=\frac{2+6}{2}=4,\quad x_2=\frac{2-6}{2}=-2,\quad a=1>0 \;\Rightarrow\;-2<x<4; \\[4pt] &\;\bigl((-\infty;-5)\cup(1;+\infty)\bigr)\cap(-2;\,4)=(1;\,4) \\[2pt] &\;\boxed{x\in(1;\,4)} \end{aligned} \]
