2) (x − √x)¹⁴; Четвертый член разл[ожения]
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- \(\left(x-\sqrt{x}\right)^{14}\);
Четвертый член разл[ожения]
\(C_{14}^{3}\cdot x^{14-3}\cdot\left(-\sqrt{x}\right)^{3}=\)
\(=\dfrac{14\cdot 13\cdot 12\cdot 11!}{\text{[обрезано]}}\)
Краткий ответ
Четвёртый член разложения \((x-\sqrt{x})^{14}\):
\[ T_4=-364x^{\frac{25}{2}}\quad\left(\text{то есть }-364x^{12{,}5}\right) \]
Верхняя строка с ответом \(220x^{\frac{15}{2}}\) — это уже готовый конец предыдущего примера; решаем пункт 2).
Как это получается
1. Формула общего члена разложения. Для \((a+b)^n\)
\[ T_{k+1}=C_n^k\,a^{\,n-k}\,b^{\,k},\qquad k=0,1,2,\dots,n. \]
Здесь \(a=x\), \(b=-\sqrt{x}\), \(n=14\). Степени \(x\) убывают, поэтому четвёртому члену отвечает \(k=3\) (первому — \(k=0\), второму — \(k=1\) и т.д.). Именно это и записано в тетради: \(C_{14}^3\cdot x^{14-3}\cdot(-\sqrt{x})^3\).
2. Считаем коэффициент.
\[ C_{14}^3=\frac{14!}{3!\,11!}=\frac{14\cdot13\cdot12\cdot11!}{3\cdot2\cdot1\cdot11!} =\frac{14\cdot13\cdot12}{6}=364 . \]
3. Считаем степень (аккуратно со знаком).
\[ (-\sqrt{x})^3=-\left(x^{\frac12}\right)^3=-x^{\frac32}, \]
\[ x^{11}\cdot x^{\frac32}=x^{\,11+\frac32}=x^{\frac{25}{2}} . \]
4. Собираем:
\[ T_4=364\cdot x^{11}\cdot\left(-x^{\frac32}\right)=-364x^{\frac{25}{2}}. \]
Проверка
- Показатели складываются: \(11+1{,}5=12{,}5=\frac{25}{2}\) — суммарная степень \(x\) не больше \(14\) и кратна \(\tfrac12\), как и должно быть при корне.
- Знак: \(b=-\sqrt{x}\) в нечётной степени даёт минус, поэтому члены с нечётным \(k\) отрицательны — знаки в разложении чередуются.
- Коэффициент \(364\) — это \(\frac{14\cdot13\cdot12}{3!}\), то есть ровно число сочетаний \(C_{14}^3\).
Ориентир для похожих заданий: сначала выписывай общий член \(T_{k+1}\), номер члена переводи в \(k\) по правилу \(k=\) (номер) \(-1\), отдельно считай числовой коэффициент \(C_n^k\) и отдельно — степени, а знак «минуса» из скобки возводи в степень вместе со всем выражением.
Обсуждение
2 сообщенияФормула общего члена разлржения
Формула общего члена разложения
Для бинома \((a+b)^n\) общий член (то есть член с номером \(k+1\)) имеет вид
\[ T_{k+1}=C_n^{k}\,a^{\,n-k}\,b^{\,k},\qquad k=0,1,2,\dots,n, \]
где
\[ C_n^{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!} \]
— биномиальный коэффициент (число сочетаний из \(n\) по \(k\)).
Откуда она берётся
Формула бинома Ньютона:
\[ (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^{k}a^{\,n-k}b^{\,k} =C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+\dots+C_n^nb^n . \]
Слагаемое, стоящее в этой сумме при индексе \(k\), и называют общим членом. Нумерация начинается с нуля: \(k=0\) даёт первый член, \(k=1\) — второй, \(k=3\) — четвёртый.
Как этим пользоваться
- Номер члена → индекс. Если нужен член номер \(m\), то \(k=m-1\).
- Коэффициент и степени считаем раздельно: \(C_n^k\) — арифметика, а \(a^{n-k}b^k\) — степени (знак «минус» из \(b\) возводится в степень вместе с \(b\)).
- Проверка: суммарная степень \(a\) и \(b\) в каждом члене равна \(n\).
На примере из задания
Для \((x-\sqrt{x})^{14}\) имеем \(a=x\), \(b=-\sqrt{x}\), \(n=14\), и нужен член номер \(4\), значит \(k=3\):
\[ T_{4}=T_{3+1}=C_{14}^{3}\,x^{14-3}\left(-\sqrt{x}\right)^{3} =364\cdot x^{11}\cdot\left(-x^{\frac32}\right)=-364x^{\frac{25}{2}} . \]
Иногда формулу записывают в виде \(T_{k}=C_n^{k-1}a^{\,n-k+1}b^{\,k-1}\) — это та же формула, просто с нумерацией членов с единицы. Главное — не смешивать две нумерации: выбери одну и держись её до конца решения.
