Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Кратко: корни уравнения — \(x_{1}=2\), \(x_{2}=3\).

Уравнение имеет вид \(ax^{2}+bx+c=0\), где \(a=1\), \(b=-5\), \(c=6\).

Способ 1. Через дискриминант

\[ D=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \]

Так как \(D>0\), корней два:

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} =\frac{5\pm1}{2} \]

Отсюда:

\[ x_{1}=\frac{5+1}{2}=3,\qquad x_{2}=\frac{5-1}{2}=2 \]

Способ 2. Разложение на множители

Ищем два числа, произведение которых равно \(6\), а сумма равна \(5\). Это \(2\) и \(3\), поэтому:

\[ x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3) \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

\[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0 \]

Значит, \(x=2\) или \(x=3\).

Проверка:

\[ 2^{2}-5\cdot2+6=4-10+6=0 \]

\[ 3^{2}-5\cdot3+6=9-15+6=0 \]

Оба корня подходят.

Принцип: для квадратного уравнения находим дискриминант; если \(D>0\), получаем два корня, если \(D=0\) — один, если \(D<0\) — действительных корней нет.