Задача № 1. Дано: AB=10см, BC=14см, AC=16см. Найти: периметр ΔMNK

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Задача № 1

[Рисунок: треугольник ABC; точка M лежит на стороне AB, точка N — на стороне BC, точка R — на стороне AC; проведены отрезки MN, MR и NR. Равные отрезки отмечены штрихами: AM и MB — по две отметки, BN и NC — по одной, AR и RC — по три.]

Дано: $AB=10\,\text{см}$, $BC=14\,\text{см}$, $AC=16\,\text{см}$
Найти: периметр $\Delta MNK$.

Answer

Краткий ответ: $20$ см.

На чертеже одинаковые отметки показывают, что $M$ — середина $AB$, $N$ — середина $BC$, а третья точка на $AC$ — середина $AC$. В условии её назвали $K$, на рисунке она обозначена $R$; это одна и та же вершина.

Каждая сторона треугольника $MNK$ является средней линией треугольника $ABC$. Средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине:

$$
MN=\frac{AC}{2}=\frac{16}{2}=8\text{ см},
$$

$$
NK=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5\text{ см},
$$

$$
MK=\frac{BC}{2}=\frac{14}{2}=7\text{ см}.
$$

Тогда

$$
P_{MNK}=MN+NK+MK=8+5+7=20\text{ см}.
$$

Почему это работает. Средняя линия соединяет середины двух сторон треугольника и отсекает подобный ему треугольник с коэффициентом $\frac12$. Поэтому её длина вдвое меньше соответствующей стороны исходного треугольника.

Проверка. Периметр $ABC$:

$$
10+14+16=40\text{ см}.
$$

Периметр внутреннего треугольника должен быть вдвое меньше:

$$
40:2=20\text{ см}.
$$

Всё сходится.