Дано: ABCD – квадрат, PK = 2a см, AK = b см. Найти: P_ABCD
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Задача
Дано: ABCD – квадрат, \(PK = 2a\) см, \(AK = b\) см. Найти: \(P_{ABCD}\)
[Рисунок: квадрат ABCD; A — левый нижний угол, B — левый верхний, C — правый верхний, D — правый нижний. На стороне AB отмечена точка P, на стороне BC — точка M, на стороне CD — точка N, на стороне AD — точка K. Проведены отрезки PM, MN, NK, KP. На отрезках AP, BM, CN, DK — двойные штрихи. На отрезке PK подпись «2a см», на отрезке AK — «b см». Угол PKA отмечен дугой и подписью «30°».]
Краткий ответ: \(P_{ABCD}=4(a+b)\) см. Так как \(b=a\sqrt3\), то же самое можно записать как \(4a(1+\sqrt3)\) см.
Разбор по шагам:
\(ABCD\) — квадрат, поэтому \(\angle A=90^\circ\). Точки \(P\) и \(K\) лежат на сторонах \(AB\) и \(AD\), значит, \(\triangle APK\) прямоугольный, а \(PK=2a\) — его гипотенуза.
На рисунке отмечен угол между \(PK\) и \(AD\): \(\angle PKA=30^\circ\). Катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы: \[ AP=\frac{PK}{2}=a. \]
Двойные штрихи на \(AP\), \(BM\), \(CN\), \(DK\) означают равенство этих отрезков. В частности, \[ DK=AP=a. \]
Точка \(K\) лежит на стороне \(AD\), поэтому \[ AD=AK+KD=b+a. \]
Все стороны квадрата равны, значит, \[ P_{ABCD}=4AD=4(a+b). \]
Проверка. В том же треугольнике \(AK\) — катет, прилежащий к углу \(30^\circ\): \[ b=AK=PK\cos30^\circ=2a\cdot\frac{\sqrt3}{2}=a\sqrt3. \] Тогда \[ P_{ABCD}=4(a+a\sqrt3)=4a(1+\sqrt3), \] что совпадает с ответом.
Что важно понять: в прямоугольном треугольнике катет против угла \(30^\circ\) равен половине гипотенузы; одинаковые штрихи на чертеже позволяют перенести найденную длину на другую сторону.
Примечание. Для периметра квадрата из всех штрихов понадобилось только равенство \(DK=AP\); остальные штрихи описывают внутренний четырёхугольник \(PMNK\).
Обсуждение
2 сообщенияОтвет:
\[
P_{ABCD}=4(a+b)\ \text{см}=4a(1+\sqrt3)\ \text{см}.
\]
Решение:
- В прямоугольном треугольнике \(APK\) угол при вершине \(K\) равен \(30^\circ\), а \(PK=2a\).
- Катет \(AP\) лежит против угла \(30^\circ\), поэтому \[ AP=\frac{PK}{2}=a. \]
- Катет \(AK\): \[ AK=PK\cos30^\circ=2a\cdot\frac{\sqrt3}{2}=a\sqrt3. \] Значит, \(b=a\sqrt3\).
- По отметкам на рисунке \(AP=KD\), поэтому \[ KD=a. \]
- Сторона квадрата: \[ AD=AK+KD=b+a. \]
- Периметр квадрата: \[ P_{ABCD}=4AD=4(a+b). \]
Так как \(b=a\sqrt3\), окончательно: \[ \boxed{P_{ABCD}=4a(1+\sqrt3)\ \text{см}}. \]
