В треугольнике АВС проведена биссектриса ВД. на продолжении стороны АС за точку А выбрана точка Е так, что треугольник ВЕД равнобедренный докажите, что прямая ЕВ касается…

Короткий ответ. Да, прямая \(EB\) касается описанной окружности треугольника \(ABC\) в точке \(B\), если в равнобедренном треугольнике \(BED\) равны \(BE\) и \(ED\) (то есть \(BD\) — основание). Если в условии не указано, какие именно стороны равны, условие неполное: при других равных сторонах утверждение, вообще говоря, неверно.

Доказательство.

Пусть

\[ \angle BAC=\alpha,\qquad \angle ABC=2\beta,\qquad \angle BCA=\gamma . \]

Тогда

\[ \alpha+2\beta+\gamma=180^\circ. \]

Так как \(BD\) — биссектриса, то

\[ \angle ABD=\angle DBC=\beta. \]

В треугольнике \(ABD\):

\[ \angle BDA=180^\circ-\alpha-\beta. \]

Точки \(E,A,D\) лежат на одной прямой, поэтому

\[ \angle BDE=\angle BDA=180^\circ-\alpha-\beta. \]

По условию \(BE=ED\), значит, в треугольнике \(BED\) равны углы при основании \(BD\):

\[ \angle EBD=\angle BDE=180^\circ-\alpha-\beta. \]

Точка \(E\) лежит на продолжении \(AC\) за точку \(A\), поэтому луч \(BE\) идёт вне угла \(ABC\), а луч \(BA\) расположен между \(BE\) и \(BD\). Следовательно,

\[ \angle EBD=\angle EBA+\angle ABD =\angle EBA+\beta. \]

Отсюда

\[ \angle EBA=180^\circ-\alpha-2\beta. \]

Но из суммы углов треугольника \(ABC\)

\[ \gamma=180^\circ-\alpha-2\beta. \]

Значит,

\[ \angle EBA=\angle BCA. \]

Угол между прямой \(BE\) и хордой \(BA\) равен вписанному углу \(BCA\), опирающемуся на эту хорду. По теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой, прямая \(EB\) является касательной к описанной окружности треугольника \(ABC\) в точке \(B\).