№ 490

Дано:
\(ABCD\) — трапеция, \(AD\parallel BC\),
\(\angle A=36^\circ\), \(\angle C=117^\circ\).

Найти:
\(\angle B\) и \(\angle D\).

Решение:

1. \(AD\parallel BC\), \(AB\) — секущая. Углы \(A\) и \(B\) — внутренние односторонние, поэтому
   \[ \angle A+\angle B=180^\circ. \] Отсюда: \[ \angle B=180^\circ-36^\circ=144^\circ. \]

2. \(AD\parallel BC\), \(CD\) — секущая. Углы \(C\) и \(D\) — внутренние односторонние, поэтому
   \[ \angle C+\angle D=180^\circ. \] Отсюда: \[ \angle D=180^\circ-117^\circ=63^\circ. \]

Проверка: \[ 36^\circ+144^\circ+117^\circ+63^\circ=360^\circ. \]

Ответ:
\[ \angle B=144^\circ,\qquad \angle D=63^\circ. \]

№ 493

Дано:
\(ABCD\) — равнобедренная трапеция, \(AD\parallel BC\), \(AB=CD\).
Один из углов равен \(68^\circ\). Пусть \(\angle A=68^\circ\).

Найти:
Остальные углы трапеции.

Решение:

1. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны: \[ \angle A=\angle D,\qquad \angle B=\angle C. \]

2. Так как \(\angle A=68^\circ\), то \[ \angle D=68^\circ. \]

3. \(AD\parallel BC\), \(AB\) — секущая. Углы \(A\) и \(B\) — внутренние односторонние: \[ \angle A+\angle B=180^\circ. \] Значит, \[ \angle B=180^\circ-68^\circ=112^\circ. \]

4. Тогда \[ \angle C=\angle B=112^\circ. \]

Проверка: \[ 68^\circ+68^\circ+112^\circ+112^\circ=360^\circ. \]

Ответ:
Остальные углы равны \(68^\circ\), \(112^\circ\), \(112^\circ\).
Все углы трапеции: \[ 68^\circ,\ 68^\circ,\ 112^\circ,\ 112^\circ. \]

№ 490 — пошагово

Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(AD\parallel BC\) — основания, \[ \angle A=36^\circ,\qquad \angle C=117^\circ. \]

Найти: \(\angle B\) и \(\angle D\).

Шаг 1. Вспомним свойство углов трапеции. При каждой боковой стороне трапеции углы являются внутренними односторонними при параллельных прямых. Их сумма равна \(180^\circ\). Значит: \[ \angle A+\angle B=180^\circ,\qquad \angle C+\angle D=180^\circ. \]

Шаг 2. Найдём \(\angle B\). Здесь \(AD\parallel BC\), а \(AB\) — секущая, поэтому углы \(A\) и \(B\) односторонние: \[ \angle B=180^\circ-\angle A=180^\circ-36^\circ=144^\circ. \]

Шаг 3. Найдём \(\angle D\). Теперь секущая — \(CD\), углы \(C\) и \(D\) тоже односторонние: \[ \angle D=180^\circ-\angle C=180^\circ-117^\circ=63^\circ. \]

Шаг 4. Проверка. Сумма углов четырёхугольника равна \(360^\circ\): \[ 36^\circ+144^\circ+117^\circ+63^\circ=360^\circ. \] Сходится.

Ответ: \[ \angle B=144^\circ,\qquad \angle D=63^\circ. \]

№ 493 — пошагово

Дано: \(ABCD\) — равнобедренная (равнобокая) трапеция, \(AD\parallel BC\), \(AB=CD\), один из углов равен \(68^\circ\). Пусть это \(\angle A=68^\circ\).

Найти: остальные углы.

Шаг 1. Свойство равнобедренной трапеции. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны: \[ \angle A=\angle D,\qquad \angle B=\angle C. \] Поэтому из \(\angle A=68^\circ\) сразу получаем: \[ \angle D=68^\circ. \]

Шаг 2. Найдём \(\angle B\). Углы \(A\) и \(B\) при боковой стороне \(AB\) — внутренние односторонние: \[ \angle A+\angle B=180^\circ, \] \[ \angle B=180^\circ-68^\circ=112^\circ. \]

Шаг 3. Найдём \(\angle C\). Углы при основании \(BC\) равны: \[ \angle C=\angle B=112^\circ. \]

Шаг 4. Проверка. \[ 68^\circ+68^\circ+112^\circ+112^\circ=360^\circ, \] и при каждой боковой стороне: \(68^\circ+112^\circ=180^\circ\). Всё верно.

Ответ: \[ \angle D=68^\circ,\qquad \angle B=\angle C=112^\circ. \] То есть углы трапеции: \(68^\circ,\ 68^\circ,\ 112^\circ,\ 112^\circ\).

Главная идея обоих номеров: в трапеции углы, прилежащие к одной боковой стороне, в сумме дают \(180^\circ\). Этого одного факта достаточно для обоих заданий: в № 490 он применяется дважды, а в № 493 ещё добавляется равенство углов при основании равнобедренной трапеции.

Ниже — ещё подробнее, с пояснением каждого перехода.

№ 490

Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(AD\parallel BC\), \[ \angle A=36^\circ,\qquad \angle C=117^\circ. \]

Найти: \(\angle B,\ \angle D\).

Шаг 0. Нужное свойство

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние односторонние углы в сумме дают \(180^\circ\).

В трапеции \(AD\parallel BC\), а боковые стороны \(AB\) и \(CD\) — это как раз секущие. Значит, работают два равенства: \[ \angle A+\angle B=180^\circ,\qquad \angle D+\angle C=180^\circ. \]

Шаг 1. Находим \(\angle B\)

Параллельные прямые — \(AD\) и \(BC\), секущая — \(AB\). Углы \(A\) и \(B\) лежат по одну сторону от секущей и внутри полосы между параллельными прямыми, то есть они внутренние односторонние: \[ \angle B=180^\circ-\angle A. \] Подставляем: \[ \angle B=180^\circ-36^\circ=144^\circ. \]

Шаг 2. Находим \(\angle D\)

Теперь секущая — \(CD\), параллельные прямые те же. Углы \(D\) и \(C\) — снова внутренние односторонние: \[ \angle D=180^\circ-\angle C, \] \[ \angle D=180^\circ-117^\circ=63^\circ. \]

Шаг 3. Проверка

Сумма углов любого четырёхугольника: \[ (n-2)\cdot 180^\circ=(4-2)\cdot 180^\circ=360^\circ. \] Считаем: \[ 36^\circ+144^\circ+117^\circ+63^\circ=360^\circ. \] Совпало — решение верное.

Ответ: \[ \boxed{\angle B=144^\circ,\quad \angle D=63^\circ} \]

№ 493

Дано: \(ABCD\) — равнобедренная трапеция, \(AD\parallel BC\), \(AB=CD\), один из углов равен \(68^\circ\). Обозначим \(\angle A=68^\circ\).

Найти: остальные три угла.

Шаг 1. Используем равнобедренность

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны: \[ \angle A=\angle D,\qquad \angle B=\angle C. \] Раз \(\angle A=68^\circ\), то сразу \[ \angle D=68^\circ. \]

Шаг 2. Находим \(\angle B\)

Углы \(A\) и \(B\) прилежат к боковой стороне \(AB\), а \(AD\parallel BC\), поэтому они внутренние односторонние: \[ \angle A+\angle B=180^\circ, \] \[ \angle B=180^\circ-68^\circ=112^\circ. \]

Шаг 3. Находим \(\angle C\)

Углы при основании \(BC\) равны между собой: \[ \angle C=\angle B=112^\circ. \]

Шаг 4. Проверка

Сумма углов: \[ 68^\circ+68^\circ+112^\circ+112^\circ=360^\circ. \] И у каждой боковой стороны: \[ 68^\circ+112^\circ=180^\circ. \] Оба условия выполнены.

Ответ: \[ \boxed{\angle A=\angle D=68^\circ,\qquad \angle B=\angle C=112^\circ} \] то есть остальные углы: \(68^\circ,\ 112^\circ,\ 112^\circ\).

Если в условии \(68^\circ\) — угол при другом основании (например, \(\angle B\)), картина просто «перевернётся»: получится \(112^\circ,\ 112^\circ,\ 68^\circ\). Набор углов трапеции от этого не меняется: \(68^\circ,\ 68^\circ,\ 112^\circ,\ 112^\circ\).

Итоговая логика обоих номеров: сначала используем параллельность оснований (сумма углов при боковой стороне \(180^\circ\)), затем — свойства конкретной трапеции (в № 493 — равенство углов при основании), и в конце обязательно проверяем сумму \(360^\circ\).

№ 156

Дано:
\[ V_{\text{газа}}=1\ \text{м}^3,\qquad Q_{\text{газа}}=3{,}3\cdot 10^7\ \text{Дж}, \] \[ V_{\text{воды}}=200\ \text{л},\qquad t_1=10^\circ\text{C},\qquad t_2=60^\circ\text{C}, \] \[ c_{\text{воды}}=4200\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot^\circ\text{C}},\qquad \rho_{\text{воды}}=1000\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}. \] Потери тепла не учитываются.

СИ: \[ 200\ \text{л}=200\ \text{дм}^3=0{,}2\ \text{м}^3. \] Масса воды: \[ m_{\text{воды}}=\rho V=1000\cdot 0{,}2=200\ \text{кг}. \]

Найти:
Достаточно ли теплоты \(Q_{\text{газа}}\), чтобы нагреть воду от \(10^\circ\text{C}\) до \(60^\circ\text{C}\)?

Решение:

1. Количество теплоты, необходимое для нагревания воды: \[ Q_{\text{нуж}}=c_{\text{воды}}m_{\text{воды}}(t_2-t_1). \] Подставляем: \[ Q_{\text{нуж}}=4200\cdot 200\cdot(60-10) =4200\cdot 200\cdot 50. \] \[ Q_{\text{нуж}}=42\,000\,000\ \text{Дж} =4{,}2\cdot 10^7\ \text{Дж}. \]

2. Сравниваем с теплотой от сгорания газа: \[ Q_{\text{газа}}=3{,}3\cdot 10^7\ \text{Дж}, \] \[ Q_{\text{нуж}}=4{,}2\cdot 10^7\ \text{Дж}. \] Видно, что \[ Q_{\text{газа}}<Q_{\text{нуж}}, \] значит, теплоты недостаточно.

3. Не хватает: \[ 4{,}2\cdot 10^7-3{,}3\cdot 10^7 =0{,}9\cdot 10^7=9\cdot 10^6\ \text{Дж}. \]

Ответ: нет, недостаточно. Нужно \(42\) МДж, а при сгорании \(1\ \text{м}^3\) газа выделяется только \(33\) МДж. Не хватает \(9\) МДж.

№ 158

Дано:
\[ m_{\text{воды}}=50\ \text{кг}, \] \[ m_{\text{дров}}=400\ \text{г}=0{,}4\ \text{кг}, \] \[ q_{\text{дров}}=12\ \text{МДж/кг}=1{,}2\cdot 10^7\ \text{Дж/кг} \] (по таблице для сухих дров), \[ c_{\text{воды}}=4200\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot^\circ\text{C}}. \] Потери тепла не учитываются.

Найти:
\[ \Delta t \] — на сколько градусов нагрелась вода.

Решение:

1. Количество теплоты, выделившееся при сгорании дров: \[ Q_{\text{сгор}}=q_{\text{дров}}m_{\text{дров}}. \] \[ Q_{\text{сгор}}=1{,}2\cdot 10^7\cdot 0{,}4 =4{,}8\cdot 10^6\ \text{Дж}. \]

2. Вся эта теплота пошла на нагревание воды: \[ Q_{\text{нагр}}=c_{\text{воды}}m_{\text{воды}}\Delta t. \] То есть \[ Q_{\text{сгор}}=c_{\text{воды}}m_{\text{воды}}\Delta t. \]

3. Выражаем изменение температуры: \[ \Delta t=\frac{Q_{\text{сгор}}}{c_{\text{воды}}m_{\text{воды}}}. \] Подставляем: \[ \Delta t=\frac{4{,}8\cdot 10^6}{4200\cdot 50}. \] \[ 4200\cdot 50=210\,000, \] \[ \Delta t=\frac{4\,800\,000}{210\,000}\approx 22{,}9^\circ\text{C}. \]

Округляем: \[ \Delta t\approx 23^\circ\text{C}. \]

Ответ: вода нагрелась примерно на \(23^\circ\text{C}\).

Если в вашей таблице для сухих берёзовых дров указано \(q=10\ \text{МДж/кг}\), то ответ будет \(\Delta t\approx 19^\circ\text{C}\). В таблице на фото для дров дано \(q=12\ \text{МДж/кг}\), поэтому основной ответ — \(23^\circ\text{C}\).