3.2

Question

3.2

Расшифровка фото нейросетью:
3.2. Напишите первые пять членов последовательности:

1. $a_n=2^n+\frac{1}{2^n}$;

2. $x_n=3n^2+2n+1$;

3. $a_n=\begin{cases}\frac{1}{n}, & \text{если } n \text{ - четное число},\ \frac{n-1}{n}, & \text{если } n \text{ - нечетное число};\end{cases}$

4. $c_n=\frac{2n-1}{2n+3}$;

5. $b_n=\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2}}}}_{n\text{ корней}}$;

6. $y_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2^n}$;

7. $x_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$;

8. $d_n=\frac{2}{(-1)^n}+2$;

9. $b_n=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+\ldots+\frac{(-1)^{n-1}}{3^{n-1}}$.

Answer

Кратко: подставляем в формулы $n=1,2,3,4,5$.

1. $a_1=\frac52,\ a_2=\frac{17}{4},\ a_3=\frac{65}{8},\ a_4=\frac{257}{16},\ a_5=\frac{1025}{32}$.

2. $6;\ 17;\ 34;\ 57;\ 86$.

3. $0;\ \frac12;\ \frac23;\ \frac14;\ \frac45$.

4. $\frac15;\ \frac37;\ \frac59;\ \frac7{11};\ \frac9{13}$.

5. $b_1=\sqrt2,\ b_2=\sqrt{2+\sqrt2},\ b_3=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}},\ b_4=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}},\ b_5=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}}$.
Приближённо: $1{,}414;\ 1{,}848;\ 1{,}962;\ 1{,}990;\ 1{,}998$.

6. $\frac12;\ \frac34;\ \frac78;\ \frac{15}{16};\ \frac{31}{32}$.

7. $\sqrt2-1;\ \sqrt3-\sqrt2;\ 2-\sqrt3;\ \sqrt5-2;\ \sqrt6-\sqrt5$.

8. $0;\ 4;\ 0;\ 4;\ 0$.

9. $1;\ \frac23;\ \frac79;\ \frac{20}{27};\ \frac{61}{81}$.

Как это получается

В пунктах 1, 2, 4, 7, 8 номер члена просто подставляется вместо $n$. Например,
$$
c_4=\frac{2\cdot4-1}{2\cdot4+3}=\frac7{11}.
$$

В пункте 3 формула зависит от чётности $n$:
при чётном $n$ берём $\frac1n$, при нечётном — $\frac{n-1}{n}$.
Поэтому $a_1=0$, $a_2=\frac12$, $a_3=\frac23$, $a_4=\frac14$.

В пункте 5 каждый следующий член получается из предыдущего:
$$
b_{n+1}=\sqrt{2+b_n}.
$$
Поэтому корни вкладываются друг в друга.

В пункте 6 записана сумма геометрической прогрессии:
$$
y_n=\frac12+\frac14+\ldots+\frac1{2^n}=1-\frac1{2^n}.
$$
Проверка: при $n=5$ получаем $\frac{31}{32}$.

В пункте 9 тоже геометрическая прогрессия, но со знаменателем $-\frac13$:
$$
b_n=1-\frac13+\frac19-\ldots=\frac34\left(1-\left(-\frac13\right)^n\right).
$$
При $n=5$ это $\frac{61}{81}$.

3.2

Обсуждение