Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром, равным a. Точка K принадлежит ребру AB, точка L — ребру CD. При этом AK:KB=1:3, CL:LD=1:4.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Тест 1. Аксиомы стереометрии и следствия из них (призма) Вариант 2
Используя рисунок, ответьте на следующие вопросы.
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) с ребром, равным \(a\). Точка \(K\) принадлежит ребру \(AB\), точка \(L\) — ребру \(CD\). При этом \(AK:KB=1:3\), \(CL:LD=1:4\). Проведена прямая \(KL\).
[Рисунок: изображён куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\); на ребре \(AB\) отмечена точка \(K\), на ребре \(CD\) — точка \(L\); прямая \(KL\) продолжена пунктиром за пределы куба; отмечены точки \(E\) и \(F\).]
A1. Укажите точку пересечения прямой \(KL\) и плоскости \(A_1D_1D\).
- \(F\)
- \(L\)
- \(E\)
- \(K\)
A2. Найдите точку пересечения прямых \(KL\) и \(BC\).
- \(F\)
- \(L\)
- \(E\)
- \(K\)
A3. Укажите линию пересечения плоскостей \(ABC\) и \(B_1EF\).
- \(A_1K\)
- \(KL\)
- \(D_1K\)
- \(C_1L\)
B1. Найдите длину отрезка \(B_1K\). Ответ: ___
B2. Вычислите длину отрезка \(KL\). Ответ: ___
C1. Найдите длину отрезка \(EF\). Ответ: ___
Кратко:
| № | Ответ |
|---|---|
| A1 | 3) \(E\) |
| A2 | 1) \(F\) |
| A3 | 2) \(KL\) |
| B1 | \(\frac{5a}{4}\) |
| B2 | \(\frac{a\sqrt{521}}{20}\) |
| C1 | \(\frac{a\sqrt{521}}{11}\) |
Разбор
Плоскость \(A_1D_1D\) — это грань \(ADD_1A_1\), поэтому с плоскостью \(ABCD\) она пересекается по прямой \(AD\). Прямая \(KL\), продолженная за \(K\), пересекает \(AD\) в точке \(E\).
Значит, A1 — \(E\).Прямая \(KL\), продолженная за \(L\), пересекает прямую \(BC\) в точке \(F\).
A2 — \(F\).Точки \(E\) и \(F\) лежат на одной прямой с \(K\) и \(L\), поэтому \(EF\) — та же прямая, что и \(KL\). Плоскости \(ABC\) и \(B_1EF\) пересекаются по прямой \(KL\).
A3 — \(KL\).
Для вычислений поместим грань \(ABCD\) в координаты: \[ A(0;0),\quad B(a;0),\quad C(a;a),\quad D(0;a). \] Тогда \[ K\left(\frac a4;0\right), \] поскольку \(AK:KB=1:3\), и \[ L\left(\frac{4a}{5};a\right), \] поскольку \(CL:LD=1:4\).
Вектор \[ \overrightarrow{KL}=\left(\frac{11a}{20};a\right). \] Поэтому \[ KL=\sqrt{\left(\frac{11a}{20}\right)^2+a^2} =\frac{a\sqrt{521}}{20}. \]
Далее:
- на прямой \(AD\) координата \(x=0\), получаем точку \(E\);
- на прямой \(BC\) координата \(x=a\), получаем точку \(F\).
Расстояние между этими положениями вдоль прямой \(KL\): \[ EF=\frac{20}{11}\cdot KL =\frac{a\sqrt{521}}{11}. \]
Наконец, \[ BK=\frac{3a}{4},\qquad BB_1=a, \] поэтому по теореме Пифагора: \[ B_1K=\sqrt{a^2+\left(\frac{3a}{4}\right)^2} =\sqrt{\frac{25a^2}{16}} =\frac{5a}{4}. \]
