помаги

Разбираю задание 2.51, обведённое на фото.

Краткий ответ

Все четыре пункта — следствия одного свойства. Движение (қозғалыс) сохраняет расстояния: для любых точек \(X\), \(Y\) и их образов \(X'\), \(Y'\)

\[ X'Y' = XY. \]

Поэтому движение сохраняет и отношение «точка лежит между двумя другими», а значит, переводит прямую в прямую, луч — в луч, угол — в равный угол, окружность — в равную окружность (того же радиуса).

Ключевая идея (одна на все пункты)

«Лежать между» записывается через расстояния: точка \(C\) лежит на отрезке \(AB\) тогда и только тогда, когда

\[ AC + CB = AB. \]

Движение это равенство не меняет: \(A'C' + C'B' = A'B'\), значит, и \(C'\) лежит между \(A'\) и \(B'\). Кроме того, движение обратимо, и обратное отображение \(f^{-1}\) — тоже движение.

Пункт 1. Прямая → прямая

Пусть \(a\) — прямая, \(A, B \in a\), \(A \ne B\), и \(A' = f(A)\), \(B' = f(B)\); обозначим \(a' = A'B'\).

Возьмём любую точку \(M \in a\). На прямой возможны три случая: \(M\) между \(A\) и \(B\), либо \(A\) между \(M\) и \(B\), либо \(B\) между \(A\) и \(M\). В первом случае

\[ AM + MB = AB \;\Rightarrow\; A'M' + M'B' = A'B', \]

то есть \(M'\) лежит между \(A'\) и \(B'\), а значит, на прямой \(a'\). Аналогично разбираются два других случая (там равенство \(MB = MA + AB\) даёт \(M'B' = M'A' + A'B'\) и т. д.). Итак, \(f(a) \subseteq a'\).

Обратно: так как \(f^{-1}\) — тоже движение, то \(f^{-1}(a') \subseteq a\), откуда \(a' \subseteq f(a)\). Значит,

\[ f(a) = a', \]

то есть прямая переходит в прямую.

Пункт 2. Луч → луч

Луч \([OA)\) — это часть прямой \(OA\), состоящая из точек \(M\), для которых \(O\) не лежит между \(A\) и \(M\).

По пункту 1 прямая \(OA\) переходит в прямую \(O'A'\), а «лежать между» сохраняется. Значит, образом луча служит множество точек \(M'\) прямой \(O'A'\), для которых \(O'\) не лежит между \(A'\) и \(M'\), — это в точности луч \([O'A')\). Начало луча \(O\) переходит в \(O'\), поэтому луч переходит в луч с началом \(O'\).

Пункт 3. Угол → равный угол

Угол \(AOB\) — объединение двух лучей с общим началом: \([OA)\) и \([OB)\). По пункту 2 они переходят в лучи \([O'A')\) и \([O'B')\), значит, весь угол переходит в угол \(A'O'B'\) с вершиной \(O'\).

Сравним треугольники \(AOB\) и \(A'O'B'\):

\[ OA = O'A', \qquad OB = O'B', \qquad AB = A'B'. \]

Треугольники равны по трём сторонам, поэтому

\[ \angle A'O'B' = \angle AOB. \]

То есть угол переходит в равный ему угол (градусная мера сохраняется). Если угол развёрнутый, то по пункту 1 он переходит в развёрнутый: \(180^\circ = 180^\circ\).

Пункт 4. Окружность → равная окружность

Окружность с центром \(O\) и радиусом \(R\) — это множество точек \(M\), для которых \(OM = R\). Для образа точки:

\[ O'M' = OM = R. \]

Значит, все образы лежат на окружности с центром \(O'\) радиуса \(R\) — того же радиуса, то есть на равной окружности.

Обратно: если \(O'N' = R\), то для прообраза \(N = f^{-1}(N')\) получаем \(ON = O'N' = R\), то есть \(N\) лежит на исходной окружности. Значит, образ — это вся окружность \((O'; R)\), равная исходной.

Проверка

Любое движение — это изометрия, поэтому любая фигура переходит в равную (конгруэнтную) ей. Легко проверить на частном случае: при повороте на \(90^\circ\) вокруг начала координат прямая \(y = 0\) переходит в прямую \(x = 0\), луч — в луч, прямой угол — в прямой угол, окружность радиуса \(2\) — в окружность радиуса \(2\). Радиус и все расстояния сохраняются — противоречий нет.