165

Понял: алгебра, 10 класс. Но для № 165 всё ещё нужно само задание — пришлите фото страницы или текст условия (можно указать автора учебника): по одному номеру решить нельзя.

№ 165. Общий приём: заменяем \(\cos x=t\) (или выражаем \(\sin^2x\) через \(\cos x\)), решаем квадратное уравнение и отбрасываем корни, для которых \(|t|>1\). Везде \(k\in\mathbb Z\).

а)
\[ 6\cos^2x+\cos x-1=0 \] Пусть \(t=\cos x\): \[ 6t^2+t-1=0,\qquad t=\frac{-1\pm5}{12}. \] Получаем \(t=\frac13\) или \(t=-\frac12\). Оба значения подходят.

\[ \boxed{x=\pm\arccos\frac13+2\pi k,\quad x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k} \]

б)
\[ 2\sin^2x+3\cos x=0 \] Так как \(\sin^2x=1-\cos^2x\): \[ 2(1-t^2)+3t=0 \] \[ 2t^2-3t-2=0 \] \[ t=2 \quad\text{или}\quad t=-\frac12. \] Корень \(t=2\) не подходит, потому что \(\cos x\le1\).

\[ \boxed{x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k} \]

в)
\[ 4\cos^2x-8\cos x+3=0 \] \[ 4t^2-8t+3=0 \] \[ t=\frac{8\pm4}{8}. \] Значит, \(t=\frac32\) или \(t=\frac12\). Первый корень не подходит.

\[ \boxed{x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k} \]

г)
\[ 5\sin^2x+6\cos x-6=0 \] \[ 5(1-t^2)+6t-6=0 \] \[ 5t^2-6t+1=0 \] \[ (5t-1)(t-1)=0. \] Отсюда \(t=\frac15\) или \(t=1\).

\[ \boxed{x=2\pi k,\quad x=\pm\arccos\frac15+2\pi k} \]

Кратко ответы: \[ \text{а) }\pm\arccos\frac13+2\pi k,\ \pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k; \] \[ \text{б) }\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k; \] \[ \text{в) }\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k; \] \[ \text{г) }2\pi k,\ \pm\arccos\frac15+2\pi k. \]