реши 5 легких задач из 1 варианта
Сверь числа и знаки с фото.
ВАРИАНТ I
- Дана точка \(M(1;3;2)\). Найдите координаты точки \(M_1\) — проекции точки \(M\) на плоскость \(Oxz\) и координаты точки \(M_2\) — проекции точки \(M\) на ось \(Oz\).
- Даны точки \(E(-1;2;3)\) и \(F(1;-1;4)\). Разложите вектор \(\overrightarrow{EF}\) по векторам \(\vec{i}\), \(\vec{j}\) и \(\vec{k}\).
- Найдите угол между векторами \(\vec{j}\) и \(\vec{m}=2\vec{i}-3\vec{k}\).
- Дан вектор \(\vec{m}\{1;2;2\}\). Найдите координаты единичного вектора \(\vec{e}\), сонаправленного с вектором \(\vec{m}\).
- Вектор \(\vec{a}\) составляет с положительным направлением оси \(OX\) угол \(135^\circ\). Найдите абсциссу вектора \(\vec{a}\), если \(|\vec{a}|=2\).
Беру пять самых простых задач: №1, №2, №3, №6, №7.
Краткие ответы
- \(M_1(1;0;2)\), \(M_2(0;0;2)\).
- \(\overrightarrow{EF}=2\vec i-3\vec j+\vec k\).
- \(90^\circ\).
- \(\vec e=\left(\frac{1}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3}\right)\).
- Абсцисса \(a_x=-\sqrt{2}\).
Как это получается
Проекция на плоскость \(Oxz\): координата \(y\) обнуляется, значит \(M_1(1;0;2)\). Проекция на ось \(Oz\): обнуляются \(x\) и \(y\), значит \(M_2(0;0;2)\).
Координаты вектора: «конец минус начало»: \[ \overrightarrow{EF}=(1-(-1);\,-1-2;\,4-3)=(2;-3;1). \] Поэтому \[ \overrightarrow{EF}=2\vec i-3\vec j+\vec k. \]
У вектора \(\vec j\) координаты \((0;1;0)\), у \(\vec m\) — \((2;0;-3)\). Их скалярное произведение: \[ \vec j\cdot\vec m=0\cdot2+1\cdot0+0\cdot(-3)=0. \] Угол между ненулевыми векторами с нулевым скалярным произведением равен \(90^\circ\). Вектор \(\vec j\) перпендикулярен плоскости \(Oxz\), а \(\vec m\) лежит в ней.
Длина вектора: \[ |\vec m|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=3. \] Единичный сонаправленный вектор — это исходный вектор, делённый на его длину: \[ \vec e=\frac{\vec m}{|\vec m|} =\left(\frac{1}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3}\right). \]
Для угла с положительным направлением оси \(OX\): \[ \cos\angle(a,OX)=\frac{a_x}{|\vec a|}. \] Значит \[ a_x=|\vec a|\cos135^\circ =2\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=-\sqrt2. \]
Проверка
- В №2: \(E+\overrightarrow{EF}=(1;-1;4)=F\).
- В №6: \(\left(\frac13\right)^2+\left(\frac23\right)^2+\left(\frac23\right)^2=1\), то есть вектор действительно единичный.
- В №7: \(\frac{a_x}{2}=-\frac{\sqrt2}{2}\), что соответствует углу \(135^\circ\).
Обсуждение
2 сообщениянапиши с решениями
Ниже — те же пять задач, но с полными решениями.
Задача 1
Условие. Дана точка \(M(1;\,y;\,2)\). Найти её проекции на координатную плоскость \(Oxz\) и на ось \(Oz\). (Значение \(y\) на ответ не влияет.)
Решение.
Проекция на плоскость \(Oxz\): у проекции «обнуляется» координата, перпендикулярная этой плоскости, то есть \(y\): \[ M_1(1;\,0;\,2). \]
Проекция на ось \(Oz\): на оси остаётся только \(z\)-координата, а \(x\) и \(y\) равны нулю: \[ M_2(0;\,0;\,2). \]
Ответ: \(M_1(1;0;2)\), \(M_2(0;0;2)\).
Задача 2
Условие. Даны точки \(E(-1;\,2;\,3)\) и \(F(1;\,-1;\,4)\). Записать вектор \(\overrightarrow{EF}\) через орты \(\vec i,\vec j,\vec k\).
Решение.
Координаты вектора находятся по правилу «конец минус начало»: \[ \overrightarrow{EF}=(x_F-x_E;\,y_F-y_E;\,z_F-z_E). \] Подставляем: \[ \overrightarrow{EF}=(1-(-1);\,-1-2;\,4-3)=(2;\,-3;\,1). \] Значит, \[ \overrightarrow{EF}=2\vec i-3\vec j+1\vec k=2\vec i-3\vec j+\vec k. \]
Проверка: \(E+\overrightarrow{EF}=(-1+2;\,2-3;\,3+1)=(1;-1;4)=F\).
Ответ: \(\overrightarrow{EF}=2\vec i-3\vec j+\vec k\).
Задача 3
Условие. Найти угол между векторами \(\vec j\) и \(\vec m(2;\,0;\,-3)\).
Решение.
Вектор \(\vec j\) имеет координаты \((0;\,1;\,0)\). Косинус угла между векторами: \[ \cos\varphi=\frac{\vec j\cdot\vec m}{|\vec j|\,|\vec m|}. \] Скалярное произведение: \[ \vec j\cdot\vec m=0\cdot2+1\cdot0+0\cdot(-3)=0. \] Длины: \(|\vec j|=1\), \(|\vec m|=\sqrt{4+0+9}=\sqrt{13}\neq0\). Отсюда \[ \cos\varphi=\frac{0}{1\cdot\sqrt{13}}=0 \;\Rightarrow\; \varphi=90^\circ. \]
Смысл: вектор \(\vec j\) направлен вдоль оси \(Oy\), то есть перпендикулярен плоскости \(Oxz\), а вектор \(\vec m\) в этой плоскости лежит.
Ответ: \(90^\circ\).
Задача 6
Условие. Найти единичный вектор, сонаправленный с вектором \(\vec m(1;\,2;\,2)\).
Решение.
Сначала длина вектора: \[ |\vec m|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt9=3. \] Единичный вектор получается делением исходного вектора на его длину: \[ \vec e=\frac{\vec m}{|\vec m|}=\left(\frac{1}{3};\,\frac{2}{3};\,\frac{2}{3}\right). \]
Проверка: \[ \left(\tfrac13\right)^2+\left(\tfrac23\right)^2+\left(\tfrac23\right)^2=\frac{1+4+4}{9}=1. \]
Ответ: \(\vec e=\left(\dfrac13;\,\dfrac23;\,\dfrac23\right)\).
Задача 7
Условие. \(|\vec a|=2\), угол между вектором \(\vec a\) и положительным направлением оси \(OX\) равен \(135^\circ\). Найти абсциссу \(a_x\).
Решение.
Угол \(\alpha\) между вектором и осью \(OX\) задаётся формулой \[ \cos\alpha=\frac{a_x}{|\vec a|}. \] Отсюда \[ a_x=|\vec a|\cos\alpha=2\cos135^\circ=2\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=-\sqrt2. \]
Проверка: \(\dfrac{a_x}{|\vec a|}=\dfrac{-\sqrt2}{2}=-\dfrac{\sqrt2}{2}\), а \(\cos135^\circ=-\dfrac{\sqrt2}{2}\) — совпадает.
Ответ: \(a_x=-\sqrt2\).
Общий принцип этих задач: все они решаются прямым применением координат вектора — «конец минус начало», длина через корень из суммы квадратов, скалярное произведение через сумму произведений координат, а угол — через косинус \(\cos\varphi=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}\).
