Интеграл формула Ньютона примеры

Кратко. Формула Ньютона — Лейбница связывает определённый интеграл с первообразной:

\[ \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a), \]

где \(F'(x)=f(x)\). То есть интеграл от \(a\) до \(b\) равен приращению первообразной.

Почему так. Если \(F\) — первообразная \(f\), то \(F\) «накапливает» значения \(f\). При переходе от \(a\) к \(b\) накопление равно \(F(b)-F(a)\). Поэтому формулу применяют так:

\[ \left.F(x)\right|_a^b=F(b)-F(a). \]

Постоянную \(C\) в определённом интеграле писать не нужно: она всё равно сократится.

Пример 1

\[ \int_0^1 x^2\,dx = \left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1 = \frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3} = \frac13. \]

Проверка: производная \(\frac{x^3}{3}\) равна \(x^2\), значит первообразная найдена верно.

Пример 2

\[ \int_1^2 (3x^2-2x)\,dx = \left.(x^3-x^2)\right|_1^2. \]

Подставляем сначала верхний предел, потом нижний:

\[ (2^3-2^2)-(1^3-1^2) = (8-4)-(1-1) = 4. \]

Пример 3

\[ \int_0^{\pi/2}\cos x\,dx = \left.\sin x\right|_0^{\pi/2} = \sin\frac{\pi}{2}-\sin 0 = 1-0=1. \]

Алгоритм для похожего задания:

1. Проверить, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке.
2. Найти любую первообразную \(F(x)\).
3. Вычислить \(F(b)-F(a)\).
4. Проверить, что \(F'(x)=f(x)\), и посмотреть на знак ответа.

Важно: если \(f(x)\ge 0\) и \(a<b\), интеграл равен площади под графиком. Если функция ниже оси \(Ox\), интеграл получается отрицательным. При перестановке пределов знак меняется:

\[ \int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx. \]