22. Функции и их свойства. Графики функций
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- Функции и их свойства. Графики функций Блок 1. ФИПИ I) Линейная функция
1.Постройте график функции \(y=\begin{cases}x-2,5, \text{если } x<2,\\ -x+1,5, \text{если } 2≤x≤3,\\ x-5, \text{если } x>3.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки.
2.Постройте график функции \(y=\begin{cases}4x-5, \text{если } x<1,\\ -2,5x+5, \text{если } 1≤x≤4,\\ x-9, \text{если } x>4.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки.
Краткий ответ:
- \(m\in(-2;-1{,}5)\cup\{-0{,}5\}\).
- \(m\in\{-5\}\cup[-1;2{,}5]\).
Общая идея: горизонтальная прямая \(y=m\) пересекает каждый не горизонтальный участок графика не больше одного раза. Поэтому для каждого участка находим множество значений \(y\). Если \(m\) попадает в это множество, получается одна точка. Затем складываем точки со всех участков. На границах обязательно проверяем, включён ли конец.
1
График состоит из трёх прямых:
- при \(x<2\): \(y=x-2{,}5\), диапазон \((-\infty;-0{,}5)\);
- при \(2\le x\le3\): \(y=-x+1{,}5\), диапазон \([-1{,}5;-0{,}5]\);
- при \(x>3\): \(y=x-5\), диапазон \((-2;+\infty)\).
Точка \((3;-2)\) выколота, так как условие для третьего участка — \(x>3\). У левого луча не включается \(-0{,}5\), потому что \(x=2\) не входит в \(x<2\).
Считаем число общих точек:
| \(m\) | число точек |
|---|---|
| \(m\le -2\) | 1 |
| \(-2<m<-1{,}5\) | 2 |
| \(-1{,}5\le m<-0{,}5\) | 3 |
| \(m=-0{,}5\) | 2 |
| \(m>-0{,}5\) | 1 |
Значит, ровно две точки получаются при \[ m\in(-2;-1{,}5)\cup\{-0{,}5\}. \]
Проверка: при \(m=-0{,}5\) левый луч уже не даёт решения, средний даёт \(x=2\), правый — \(x=4{,}5\). Действительно две точки. При \(m=-1{,}5\) точек три, поэтому эта граница не входит.
2
Диапазоны значений по участкам: \[ x<1:\ y\in(-\infty;-1), \] \[ 1\le x\le4:\ y\in[-5;2{,}5], \] \[ x>4:\ y\in(-5;+\infty). \]
Здесь у первого луча не включается \(-1\), потому что \(x=1\) не входит в \(x<1\). У третьего луча не включается \(-5\), потому что \(x=4\) не входит в \(x>4\).
Считаем число точек:
| \(m\) | число точек |
|---|---|
| \(m<-5\) | 1 |
| \(m=-5\) | 2 |
| \(-5<m<-1\) | 3 |
| \(-1\le m\le2{,}5\) | 2 |
| \(m>2{,}5\) | 1 |
Следовательно, ровно две общие точки будут при \[ m=-5\quad \text{или}\quad m\in[-1;2{,}5]. \]
Проверка: при \(m=-5\) первый участок даёт \(x=0\), средний — \(x=4\), а третий луч не даёт \(x=4\), поскольку там требуется \(x>4\). Всего две точки.
Обсуждение
4 сообщенияВот поэтому примеру
Я проверил пример №345(а). Судя по таблице и закрашенной точке \((-1;-1)\), у тебя функция
\[ y=\begin{cases} -x, & x<-1,\\ x, & x\ge -1. \end{cases} \]
Тогда график построен верно:
- при \(x<-1\) строим луч \(y=-x\), например через \((-3;3)\) и \((-2;2)\); точка \((-1;1)\) выколота, потому что \(x=-1\) в этот промежуток не входит;
- при \(x\ge -1\) строим луч \(y=x\), например через \((-1;-1)\), \((0;0)\), \((1;1)\); точка \((-1;-1)\) закрашена, так как условие нестрогое.
Небольшая неточность в записи: у тебя написано «Если \(x>-1\)», но точка \((-1;-1)\) закрашена. Значит, должно быть \(x\ge -1\), иначе при \(x=-1\) функция не была бы определена и кружок нужно было бы сделать выколотым.
Если в учебнике стоит не \(x\ge -1\), а \(x\ge 1\), то вторая ветвь должна начинаться только в точке \((1;1)\), а на промежутке \([-1;1)\) графика вообще нет — тогда рисунок нужно исправить.
Нарисуй графики к 1 и 2 заданию
Вот схематические графики. Выколотая точка — белый кружок, включённая — закрашенный.
1) График к первому заданию
Ключевые точки: луч \(y=x-2{,}5\) до \((2;-0{,}5)\), затем отрезок до \((3;-1{,}5)\), затем луч \(y=x-5\) из выколотой точки \((3;-2)\) вверх.
2) График ко второму заданию
Ключевые точки: луч \(y=2x-3\) идёт к выколотой точке \((1;-1)\); отрезок начинается в \((1;2{,}5)\), проходит через \((2;0)\), \((3;-2{,}5)\) и заканчивается в \((4;-5)\); дальше идёт луч \(y=2x-13\) вверх из \((4;-5)\).
