y= -2ctg (x-2)
Условие неполное: не сказано, что именно нужно сделать с функцией \(y=-2\operatorname{ctg}(x-2)\). Уточни, пожалуйста: найти область определения, период, производную, построить график или выполнить полное исследование?
Обсуждение
4 сообщенияпостроить график
Кратко
График \(y=-2\operatorname{ctg}(x-2)\) получается из графика \(y=\operatorname{ctg}x\) сдвигом вправо на \(2\), растяжением по вертикали в \(2\) раза и отражением относительно оси \(Ox\). В результате ветви возрастают, а не убывают.
Как строить
1. Асимптоты. Там, где \(\operatorname{ctg}\) не определён: \[ x-2=\pi k \quad\Rightarrow\quad x=2+\pi k. \]
2. Нули. \(\operatorname{ctg}(x-2)=0\): \[ x-2=\frac{\pi}{2}+\pi k \quad\Rightarrow\quad x=2+\frac{\pi}{2}+\pi k. \]
3. Период. У котангенса период \(\pi\), сдвиг и растяжение его не меняют: \[ T=\pi. \]
4. Поведение на одной ветви. Берём интервал \((2;\,2+\pi)\). При \(x\to 2+\) имеем \(\operatorname{ctg}(x-2)\to+\infty\), значит \(y\to-\infty\). При \(x\to(2+\pi)-\) получаем \(y\to+\infty\). Функция возрастает.
5. Точки для построения (первая ветвь):
| \(x-2\) | \(x\) | \(\operatorname{ctg}(x-2)\) | \(y=-2\operatorname{ctg}(x-2)\) |
|---|---|---|---|
| \(\frac{\pi}{6}\) | \(\approx 2{,}52\) | \(\sqrt3\) | \(-2\sqrt3\approx-3{,}46\) |
| \(\frac{\pi}{4}\) | \(\approx 2{,}79\) | \(1\) | \(-2\) |
| \(\frac{\pi}{2}\) | \(\approx 3{,}57\) | \(0\) | \(0\) |
| \(\frac{3\pi}{4}\) | \(\approx 4{,}36\) | \(-1\) | \(2\) |
| \(\frac{5\pi}{6}\) | \(\approx 4{,}62\) | \(-\sqrt3\) | \(2\sqrt3\approx 3{,}46\) |
6. Остальные ветви. Копируем построенную ветвь вправо и влево через \(\pi\): следующие асимптоты \(x=2+\pi\), \(x=2-\pi\) и т. д.
Проверка
Возьми контрольную точку \(x=2+\frac{\pi}{4}\): тогда \(y=-2\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}=-2\cdot1=-2\) — совпадает с таблицей. Знак «минус» перед функцией и «перевернул» ветви: раньше котангенс шёл сверху вниз, теперь ветвь идёт снизу вверх.
а фотку с графиком?
Картинку прикрепить не могу — изображения я не отправляю. Но график несложно нарисовать самому, вот готовая инструкция.
1. Оси и асимптоты. Проведи вертикальные пунктирные линии: \[ x=2,\quad x=2+\pi\approx5{,}14,\quad x=2-\pi\approx-1{,}14. \]
2. Точки первой ветви \((2;\,2+\pi)\) — по ним и веди плавную линию снизу вверх:
| \(x\) | \(-3{,}46\) … | \(2{,}52\) | \(2{,}79\) | \(3{,}57\) | \(4{,}36\) | \(4{,}62\) | … |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(\to-\infty\) | \(-3{,}46\) | \(-2\) | \(0\) | \(2\) | \(3{,}46\) | \(\to+\infty\) |
3. Следующие ветви — просто копии этой, сдвинутые на \(\pi\approx3{,}14\) вправо и влево. Например, вторая ветвь проходит через точки \((6{,}71;\,-2)\), \((6{,}71+0{,}79;\,0)=(6{,}71;\,0)\)… точнее: \((2+\pi+\frac{\pi}{4};\,-2)\approx(5{,}93;\,-2)\) и \((2+\pi+\frac{\pi}{2};\,0)\approx(6{,}71;\,0)\).
4. Проверка рисунка: ветви идут снизу вверх (возрастают), слева от каждой асимптоты график уходит вниз, справа — вверх, и всё это повторяется через каждые \(\pi\).
Если хочешь, могу расписать координаты точек для второй и третьей ветвей подробнее — тогда график можно перенести на бумагу почти механически.
