постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая у=m имеет с графиком ровно одну общую точку
В условии не указана сама функция. Пришлите её формулу или фото задания — после этого я помогу построить график и найти все значения \(m\), при которых прямая \(y=m\) имеет с ним ровно одну общую точку.
Обсуждение
2 сообщенияпостройте график функции и определите, при каких значениях m прямая у=m имеет с графиком ровно одну общую точку y=1/2(модуль(x/3,5-3,5/х)+х/3,5+3,5/х)
Ответ: ровно одна общая точка будет при
\[
m=-1 \quad \text{или} \quad m=1.
\]
Обозначим \(a=3{,}5\), \(t=\dfrac{x}{a}\). Тогда \(\dfrac{a}{x}=\dfrac1t\), и \[ y=\frac12\left(\left|t-\frac1t\right|+t+\frac1t\right). \] Так как \(\frac12(|p-q|+p+q)=\max(p,q)\), получаем \[ y=\max\left(\frac{x}{3{,}5};\ \frac{3{,}5}{x}\right). \]
Поэтому график задаётся так: \[ y= \begin{cases} \dfrac{3{,}5}{x}, & x<-3{,}5\ \text{или}\ 0<x\le 3{,}5,\\[6pt] \dfrac{x}{3{,}5}, & -3{,}5\le x<0\ \text{или}\ x>3{,}5. \end{cases} \]
Ключевые точки графика: \[ (-3{,}5;-1), \qquad (3{,}5;1). \] Асимптоты: \(x=0\) и \(y=0\).
Теперь считаем пересечения с горизонтальной прямой \(y=m\):
- на правой ветви \(y\ge 1\), минимум \(1\) достигается в точке \((3{,}5;1)\);
- на левой ветви \(-1\le y<0\), минимум \(-1\) достигается в точке \((-3{,}5;-1)\).
Значит:
- при \(m=1\) — одна точка;
- при \(m=-1\) — одна точка;
- при \(m>1\) или \(-1<m<0\) — по две точки;
- при остальных \(m\) — ни одной.
\[ \boxed{m=-1;\quad m=1} \]
