Реши 464 с объяснением

Ответ:
а) \(30^\circ\); б) \(60^\circ\); в) \(0^\circ\); г) \(45^\circ\).

Как решать. Угол между прямыми \(AB\) и \(CD\) ищут через направляющие векторы: \[ \vec{AB}=B-A,\qquad \vec{CD}=D-C. \] Угол между прямыми — острый, поэтому \[ \cos\varphi=\frac{|\vec{AB}\cdot\vec{CD}|}{|\vec{AB}|\cdot|\vec{CD}|}. \]

а) \(A(3;-2;4),\ B(4;-1;2),\ C(6;-3;2),\ D(7;-3;1)\)

\[ \vec{AB}=(1;1;-2),\qquad \vec{CD}=(1;0;-1). \] \[ \vec{AB}\cdot\vec{CD}=1\cdot1+1\cdot0+(-2)(-1)=3, \] \[ |\vec{AB}|=\sqrt{1+1+4}=\sqrt6,\qquad |\vec{CD}|=\sqrt{1+0+1}=\sqrt2. \] \[ \cos\varphi=\frac{3}{\sqrt6\cdot\sqrt2} =\frac{3}{2\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{2}. \] Значит, \(\varphi=30^\circ\).

б) \(A(5;-8;-1),\ B(6;-8;-2),\ C(7;-5;-11),\ D(7;-7;-9)\)

\[ \vec{AB}=(1;0;-1),\qquad \vec{CD}=(0;-2;2). \] \[ \vec{AB}\cdot\vec{CD}=1\cdot0+0\cdot(-2)+(-1)\cdot2=-2, \] \[ |\vec{AB}|=\sqrt2,\qquad |\vec{CD}|=\sqrt{0+4+4}=2\sqrt2. \] \[ \cos\varphi=\frac{|-2|}{\sqrt2\cdot2\sqrt2} =\frac{2}{4}=\frac12. \] Значит, \(\varphi=60^\circ\).

в) \(A(1;0;2),\ B(2;1;0),\ C(0;-2;-4),\ D(-2;-4;0)\)

\[ \vec{AB}=(1;1;-2),\qquad \vec{CD}=(-2;-2;4). \] Видно, что \[ \vec{CD}=-2\vec{AB}, \] то есть векторы коллинеарны. Значит, прямые параллельны, угол между ними: \[ \varphi=0^\circ. \]

г) \(A(-6;-15;7),\ B(-7;-15;8),\ C(14;-10;9),\ D(14;-10;7)\)

\[ \vec{AB}=(-1;0;1),\qquad \vec{CD}=(0;0;-2). \] \[ \vec{AB}\cdot\vec{CD}=(-1)\cdot0+0\cdot0+1\cdot(-2)=-2, \] \[ |\vec{AB}|=\sqrt2,\qquad |\vec{CD}|=2. \] \[ \cos\varphi=\frac{|-2|}{\sqrt2\cdot2} =\frac{2}{2\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}. \] Значит, \(\varphi=45^\circ\).

Итог: а) \(30^\circ\), б) \(60^\circ\), в) \(0^\circ\), г) \(45^\circ\).