реши задачу
Сверь числа и знаки с фото.
Пример №8. Спортсмены проводили подготовку к соревнованиям по стрельбе из лука. Оба спортсмена произвели по 7 серий выстрелов. Каждая серия состояла из 12 выстрелов. По итогам каждой серии подведены результаты попадания в цель.
Спортсмен 1: 11, 11, 12, 11, 9, 11, 12;
Спортсмен 2: 12, 10, 9, 12, 11, 12, 11.
Кто лучше из спортсменов готов к соревнованиям?
Краткий ответ: лучше подготовлен спортсмен 1. По среднему результату у обоих равенство, но у первого результаты стабильнее — меньше разброс.
Решение
- Сумма попаданий у каждого: \[ 11+11+12+11+9+11+12=77, \] \[ 12+10+9+12+11+12+11=77. \]
Среднее за серию: \[ \bar x_1=\bar x_2=\frac{77}{7}=11. \]
Значит, по сумме и среднему спортсмены равны: \(77:77\).
- Теперь сравним дисперсию — среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего. Она показывает, насколько результаты «разбросаны».
Для первого спортсмена отклонения от \(11\): \[ 0,\ 0,\ 1,\ 0,\ -2,\ 0,\ 1. \] Сумма их квадратов: \[ 0^2+0^2+1^2+0^2+(-2)^2+0^2+1^2=6. \] \[ D_1=\frac{6}{7}\approx0{,}86. \]
Для второго спортсмена отклонения: \[ 1,\ -1,\ -2,\ 1,\ 0,\ 1,\ 0. \] \[ D_2=\frac{1^2+(-1)^2+(-2)^2+1^2+0^2+1^2+0^2}{7} =\frac{8}{7}\approx1{,}14. \]
- Так как \(D_1<D_2\), у первого спортсмена результаты кучнее, то есть он стреляет стабильнее. У второго есть три «12», но также больше низких серий — \(10\) и \(9\).
Вывод: при одинаковом среднем результате лучше подготовлен спортсмен 1.
Обсуждение
2 сообщенияЭто продолжение той же темы — сравнение числовых наборов по разбросу.
1. Отметки на числовой прямой
Первый набор: \[ 1,\ 1,\ 9,\ 9,\ 1,\ 9. \] То есть в точке \(1\) — три отметки, в точке \(9\) — три отметки; около \(5\) точек нет.
Второй набор: \[ 5,\ 5,\ 1,\ 5,\ 5,\ 9. \] То есть в точке \(1\) — одна отметка, в точке \(5\) — четыре, в точке \(9\) — одна.
2. Средние значения
Первый набор: \[ \frac{1+1+9+9+1+9}{6} =\frac{30}{6}=5. \]
Второй набор: \[ \frac{5+5+1+5+5+9}{6} =\frac{30}{6}=5. \]
Средние у наборов одинаковые.
3. Сумма квадратов отклонений
Для первого набора: \[ 3\cdot(1-5)^2+3\cdot(9-5)^2 =3\cdot16+3\cdot16=96. \]
Для второго набора: \[ (1-5)^2+4\cdot(5-5)^2+(9-5)^2 =16+0+16=32. \]
4. Характеристика распределения
- Оба набора симметричны относительно среднего \(5\).
- В первом наборе все числа находятся по краям: половина около \(1\), половина около \(9\). Распределение сильно «рассеяно».
- Во втором наборе большинство чисел — \(5\), то есть точки плотно собраны около среднего, а \(1\) и \(9\) являются как бы крайними, выбросами.
Так как \[ 32<96, \] второй набор расположен плотнее к среднему арифметическому, а первый — более разбросан.
