нарисуй все и объясни
Сверь числа и знаки с фото.
Вариант 1
- Начертите два неколлинеарных вектора \(\vec a\) и \(\vec b\). Постройте векторы, равные: а) \(\frac{1}{2}\vec a + 3\vec b\); б) \(2\vec b - \vec a\).
- На стороне \(BC\) ромба \(ABCD\) лежит точка \(K\) так, что \(BK = KC\), \(O\) — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы \(\overrightarrow{AO}\), \(\overrightarrow{AK}\), \(\overrightarrow{KD}\) через векторы \(\vec a = \overrightarrow{AB}\) и \(\vec b = \overrightarrow{AD}\).
- В равнобедренной трапеции высота делит большее основание на отрезки, равные 5 см и 12 см. Найдите среднюю линию трапеции. 4*. В треугольнике \(ABC\) точка \(O\) — точка пересечения медиан. Выразите вектор \(\overrightarrow{AO}\) через векторы \(\vec a = \overrightarrow{AB}\) и \(\vec b = \overrightarrow{AC}\).
Кратко
| № | Ответ |
|---|---|
| 1 | Построения — на рисунках ниже: \(\overrightarrow{OD}=\frac12\vec a+3\vec b\), \(\overrightarrow{AB}=2\vec b-\vec a\) |
| 2 | \(\overrightarrow{AO}=\frac12\vec a+\frac12\vec b\), \(\overrightarrow{AK}=\vec a+\frac12\vec b\), \(\overrightarrow{KD}=\frac12\vec b-\vec a\) |
| 3 | Средняя линия равна \(12\) см |
| 4* | \(\overrightarrow{AO}=\frac13\vec a+\frac13\vec b\) |
№ 1. Построение
Главное правило (правило треугольника): идём по цепочке векторов «конец к началу» — результат соединяет начало первого с концом последнего.
а) \(\frac12\vec a+3\vec b\)
- Ставим точку \(O\), откладываем от неё половину вектора \(\vec a\) (в ту же сторону, длина в 2 раза меньше) — точка \(A\).
- Из \(A\) три раза подряд откладываем \(\vec b\): \(A\to B\to C\to D\).
- Результат — вектор из \(O\) в \(D\).
b b b
A ───────▶ B ───────▶ C ───────▶ D
╱ ╲
½a ╱ ╲ OD = ½a + 3b
╱ ╲
O ───────────────────────────────────────▶
б) \(2\vec b-\vec a\)
Разность удобно строить «из общего начала»: если \(\overrightarrow{OA}=\vec a\) и \(\overrightarrow{OB}=2\vec b\) из одной точки, то \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=2\vec b-\vec a\).
- Из \(O\) откладываем \(\vec a\) — точка \(A\).
- Из \(O\) откладываем \(2\vec b\) (\(\vec b\) дважды подряд) — точка \(B\).
- Вектор из \(A\) в \(B\) — искомый.
B
╱ ╲
2b ╱ ╲ AB = 2b − a
╱ ╲
O───────▶ A
a
Принцип: умножение на число растягивает вектор (\(\frac12\) — вдвое короче, \(3\) — втрое длиннее, минус — разворот), а сложение — это просто путь по цепочке.
№ 2. Ромб
B
╱ ╲ K K — середина BC
╱ ╲
╱ ╲
A───O───C
╲ ╱
╲ ╱
╲ ╱
D
В ромбе противоположные стороны равны и параллельны, поэтому \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec b\), \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\vec a\).
\(AO\). \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec a+\vec b\), а \(O\) — середина диагонали: \[ \overrightarrow{AO}=\frac12\overrightarrow{AC}=\frac12\vec a+\frac12\vec b. \]
\(AK\). \(BK=\frac12 BC\), значит \(\overrightarrow{BK}=\frac12\vec b\): \[ \overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BK}=\vec a+\frac12\vec b. \]
\(KD\). Идём от \(K\) к \(D\) через \(A\): \[ \overrightarrow{KD}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AD}=-\left(\vec a+\frac12\vec b\right)+\vec b=\frac12\vec b-\vec a. \]
Проверка: \(\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KD}=\left(\vec a+\frac12\vec b\right)+\left(\frac12\vec b-\vec a\right)=\vec b=\overrightarrow{AD}\) — путь \(A\to K\to D\) действительно даёт \(A\to D\). ✔
№ 3. Трапеция
B────────C
╱ │ ╲
╱ │ ╲
A───H──────────D
5 12
Краткий ответ: \(12\) см.
Пусть \(BH\perp AD\), \(AH=5\), \(HD=12\). Опустим вторую высоту \(CE\). Тогда \(HBCE\) — прямоугольник, поэтому \(HE=BC\), а \(ED=AH=5\) (трапеция равнобедренная).
\[ HD=HE+ED=BC+5 \Rightarrow BC=12-5=7. \]
Большее основание \(AD=5+12=17\), средняя линия: \[ \frac{AD+BC}{2}=\frac{17+7}{2}=12\ \text{см}. \]
Проверка: в равнобедренной трапеции средняя линия всегда равна отрезку \(HD\) от основания высоты до вершины: \(\frac{AD+BC}{2}=BC+\frac{AD-BC}{2}=HD\). Здесь это тоже \(12\) см. ✔
№ 4*. Медианы
A
╱ ╲
╱ ╲
╱ O ╲
╱ ╲
B────M────C
Медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины, поэтому \(AO=\frac23 AM\).
Медиана к стороне \(BC\), где \(M\) — середина \(BC\): \[ \overrightarrow{AM}=\frac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac12(\vec a+\vec b). \]
Значит \[ \overrightarrow{AO}=\frac23\cdot\frac12(\vec a+\vec b)=\frac13\vec a+\frac13\vec b. \]
Проверка: \(OM=AM-AO=\frac12(\vec a+\vec b)-\frac13(\vec a+\vec b)=\frac16(\vec a+\vec b)\), то есть \(AO:OM=2:1\). ✔
Общий принцип для всех задач: любой вектор на рисунке — это путь по сторонам фигуры; записываем путь суммой известных векторов, а свойства фигуры (равенство и параллельность сторон, середины, медианы) дают нужные коэффициенты.
