Вариант 2 1. Вычислите: а) √324; √3,61; √(81/196); √(1 64/225); б) (√7)²; (−√15)²; (√4)⁴

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Вариант 2

1. Вычислите:

а) $\sqrt{324};\ \sqrt{3,61};\ \sqrt{\frac{81}{196}};\ \sqrt{1\frac{64}{225}};$

б) $\left(\sqrt{7}\right)^2;\ \left(-\sqrt{15}\right)^2;\ \left(\sqrt{4}\right)^4;$

в) $\left(2\sqrt{7}\right)^2;\ -2\sqrt{(-7)^2};\ \left(-2\sqrt{7}\right)^4;$

г) $\sqrt{676}-\sqrt{576};\ \sqrt{\frac{9}{25}}\cdot\sqrt{6,25}.$

2. Решите уравнение:

а) $x^2=169;$ б) $x^2=13;$ в) $\sqrt{x}=13.$

Answer

Краткий ответ

1. а) $\sqrt{324}=18;\quad \sqrt{3{,}61}=1{,}9;\quad \sqrt{\frac{81}{196}}=\frac{9}{14};\quad \sqrt{1\frac{64}{225}}=\frac{17}{15}=1\frac{2}{15}$.

б) $(\sqrt7)^2=7;\quad (-\sqrt{15})^2=15;\quad (\sqrt4)^4=16$.

в) $(2\sqrt7)^2=28;\quad -2\sqrt{(-7)^2}=-14;\quad (-2\sqrt7)^4=784$.

г) $\sqrt{676}-\sqrt{576}=2;\quad \sqrt{\frac{9}{25}}\cdot\sqrt{6{,}25}=1{,}5$.

2. а) $x^2=169 \Rightarrow x=\pm13$;
б) $x^2=13 \Rightarrow x=\pm\sqrt{13}$;
в) $\sqrt{x}=13 \Rightarrow x=169$.

Как это получается

Главные правила:

$$
(\sqrt a)^2=a \quad (a\ge0),
\qquad
\sqrt{a^2}=|a|,
\qquad
\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}.
$$

Корень из квадрата — это неотрицательное число, поэтому, например, $\sqrt{(-7)^2}=7$, а не $-7$.

1. а)
$$
\sqrt{324}=18,\qquad \sqrt{3{,}61}=\sqrt{\frac{361}{100}}=\frac{19}{10}=1{,}9.
$$

$$
\sqrt{\frac{81}{196}}=\frac{9}{14}.
$$

Для смешанного числа сначала перейдём к неправильной дроби:

$$
1\frac{64}{225}=\frac{225+64}{225}=\frac{289}{225}
=\left(\frac{17}{15}\right)^2,
$$

поэтому

$$
\sqrt{1\frac{64}{225}}=\frac{17}{15}=1\frac{2}{15}.
$$

1. б)
Используем $(\sqrt a)^2=a$:

$$
(\sqrt7)^2=7,\qquad (-\sqrt{15})^2=15,
$$

$$
(\sqrt4)^4=2^4=16.
$$

1. в)
$$
(2\sqrt7)^2=2^2\cdot(\sqrt7)^2=4\cdot7=28.
$$

В выражении $-2\sqrt{(-7)^2}$ сначала вычисляем корень:

$$
\sqrt{(-7)^2}=|-7|=7,
$$

поэтому

$$
-2\sqrt{(-7)^2}=-2\cdot7=-14.
$$

Далее:

$$
(-2\sqrt7)^4=(-2)^4\cdot(\sqrt7)^4=16\cdot49=784.
$$

1. г)
$$
\sqrt{676}=26,\qquad \sqrt{576}=24,
$$

$$
26-24=2.
$$

Также

$$
\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac35,\qquad \sqrt{6{,}25}=2{,}5,
$$

$$
\frac35\cdot2{,}5=\frac35\cdot\frac52=\frac32=1{,}5.
$$

2. Уравнения

Если $x^2=a$ и $a>0$, корней два:

$$
x=\pm\sqrt a.
$$

Поэтому:

$$
x^2=169 \Rightarrow x=\pm13;
$$

$$
x^2=13 \Rightarrow x=\pm\sqrt{13}.
$$

А уравнение $\sqrt{x}=13$ имеет только один корень, потому что $\sqrt{x}$ не может быть отрицательным:

$$
x=13^2=169.
$$

Проверка: $\sqrt{169}=13$, всё верно.

Вариант 2 1. Вычислите: а) √324; √3,61; √(81/196); √(1 64/225); б) (√7)²; (−√15)²; (√4)⁴

Обсуждение

1. Вычислите

2. Решите уравнение