Сделай 433 с объяснением

Это задание № 4.33: нужно найти производную функции в любой точке её области определения. Использую правило производной частного: \[ \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2},\qquad v\ne0. \] Словами: производная числителя умножить на знаменатель, минус числитель умножить на производную знаменателя, всё разделить на квадрат знаменателя.

Для дробей вида \(y=\frac1{g(x)}\) удобно следствие: \[ y'=-\frac{g'(x)}{g(x)^2}. \]

Краткие ответы

а) \(y'=-\frac1{x^2}\)
б) \(y'=-\frac2{x^3}\)
в) \(y'=-\frac1{(x+1)^2}\)
г) \(y'=-\frac2{(x-1)^2}\)
д) \(y'=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\)
е) \(y'=\frac{4+x^2}{(4-x^2)^2}\)
ж) \(y'=\frac{x^2+2x+3}{(x+1)^2}\)
з) \(y'=\frac{-x^2+16x+1}{(x^2+1)^2}\)
и) \(y'=\frac{3(2x-7)}{(x^2-7x+5)^2}\)

Подробное решение

а) \(y=\frac1x\), \(x\ne0\).
Здесь \(g(x)=x\), \(g'(x)=1\): \[ y'=-\frac1{x^2}. \]

б) \(y=\frac1{x^2}\), \(x\ne0\).
\(g(x)=x^2\), \(g'(x)=2x\): \[ y'=-\frac{2x}{(x^2)^2}=-\frac{2x}{x^4}=-\frac2{x^3}. \]

в) \(y=\frac1{x+1}\), \(x\ne-1\).
\(g(x)=x+1\), \(g'(x)=1\): \[ y'=-\frac1{(x+1)^2}. \]

г) \(y=\frac{x+1}{x-1}\), \(x\ne1\).
\(u=x+1\), \(v=x-1\), \(u'=1\), \(v'=1\): \[ y'=\frac{1\cdot(x-1)-(x+1)\cdot1}{(x-1)^2} =\frac{-2}{(x-1)^2}. \]

д) \(y=\frac{x}{x^2+1}\), \(x\in\mathbb R\).
\(u=x\), \(v=x^2+1\), \(u'=1\), \(v'=2x\): \[ y'=\frac{1\cdot(x^2+1)-x\cdot2x}{(x^2+1)^2} =\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}. \]

е) \(y=\frac{x}{4-x^2}\), \(x\ne\pm2\).
\(u=x\), \(v=4-x^2\), \(u'=1\), \(v'=-2x\): \[ y'=\frac{1\cdot(4-x^2)-x\cdot(-2x)}{(4-x^2)^2} =\frac{4+x^2}{(4-x^2)^2}. \]

ж) \(y=\frac{x^2+3x}{x+1}\), \(x\ne-1\).
\(u=x^2+3x\), \(v=x+1\), \(u'=2x+3\), \(v'=1\): \[ y'=\frac{(2x+3)(x+1)-(x^2+3x)\cdot1}{(x+1)^2} =\frac{x^2+2x+3}{(x+1)^2}. \]

з) \(y=\frac{x^2+x-7}{x^2+1}\), \(x\in\mathbb R\).
\(u=x^2+x-7\), \(v=x^2+1\), \(u'=2x+1\), \(v'=2x\): \[ y'=\frac{(2x+1)(x^2+1)-(x^2+x-7)\cdot2x}{(x^2+1)^2} =\frac{-x^2+16x+1}{(x^2+1)^2}. \]

и) \(y=\frac{-x^2+7x-8}{x^2-7x+5}\),
\(x^2-7x+5\ne0\), то есть \(x\ne\frac{7\pm\sqrt{29}}2\).
\(u=-x^2+7x-8\), \(v=x^2-7x+5\),
\(u'=-2x+7\), \(v'=2x-7\): \[ y'=\frac{(-2x+7)(x^2-7x+5)-(-x^2+7x-8)(2x-7)}{(x^2-7x+5)^2}. \] Так как \(-2x+7=-(2x-7)\), а \(u+v=-3\), числитель равен \[ -(2x-7)(u+v)=-(2x-7)(-3)=3(2x-7). \] Поэтому \[ y'=\frac{3(2x-7)}{(x^2-7x+5)^2}. \]

Для функции \(f(x)=x^2+2x-3\) нужно записать уравнения касательных в точках с указанными абсциссами.

Уравнение касательной в точке \(x_0\): \[ y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0). \]

Сначала найдём производную: \[ f'(x)=2x+2. \]

а) \(x_0=0\)

\[ f(0)=-3,\qquad f'(0)=2. \]

Подставляем: \[ y=-3+2(x-0)=2x-3. \]

Ответ: \(y=2x-3\).

б) \(x_0=1\)

\[ f(1)=1+2-3=0, \] \[ f'(1)=2\cdot1+2=4. \]

Подставляем: \[ y=0+4(x-1)=4x-4. \]

Ответ: \(y=4x-4\).

в) \(x_0=-1\)

\[ f(-1)=1-2-3=-4, \] \[ f'(-1)=2\cdot(-1)+2=0. \]

Подставляем: \[ y=-4+0\cdot(x+1)=-4. \]

Ответ: \(y=-4\).
Это горизонтальная касательная.

г) \(x_0=-2\)

\[ f(-2)=4-4-3=-3, \] \[ f'(-2)=2\cdot(-2)+2=-2. \]

Подставляем: \[ y=-3+(-2)(x+2)=-3-2x-4=-2x-7. \]

Ответ: \(y=-2x-7\).

Итог:

\[ \text{а) } y=2x-3, \] \[ \text{б) } y=4x-4, \] \[ \text{в) } y=-4, \] \[ \text{г) } y=-2x-7. \]

Смысл способа: \(f'(x_0)\) — это угловой коэффициент касательной, то есть её наклон, а \(f(x_0)\) — координата точки касания по \(y\).