Номер 1216

Ответ:

а) \(27x^{3}y\); б) \(\dfrac{20a^{6}}{b^{2}}\); в) \(\dfrac{4b^{12}}{a^{10}}\); г) \(\dfrac{y^{6}}{2x^{5}}\) (то есть \(\dfrac{y^{6}}{2x^{5}}\), можно записать и как \(\dfrac{1}{2}x^{-5}y^{6}\)).

Дальше — главные шаги: здесь работают четыре правила: \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}\), \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}\), \((a^{m})^{n}=a^{mn}\) и \(a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}\).

а) \(\left(\dfrac{2x^{-1}}{3y^{-2}}\right)^{-2}\cdot 12xy^{5}\)

1. Сначала уберём минусы внутри дроби: \(x^{-1}\) уходит в знаменатель, \(y^{-2}\) — в числитель: \[ \frac{2x^{-1}}{3y^{-2}}=\frac{2y^{2}}{3x}. \]
2. Степень \(-2\) переворачивает дробь и возводит её в квадрат: \[ \left(\frac{2y^{2}}{3x}\right)^{-2}=\left(\frac{3x}{2y^{2}}\right)^{2}=\frac{9x^{2}}{4y^{4}}. \]
3. Умножаем и сокращаем: \[ \frac{9x^{2}}{4y^{4}}\cdot 12xy^{5}=\frac{108}{4}\,x^{3}y=27x^{3}y. \]

б) \(4a^{7}b^{-1}\cdot\left(\dfrac{ab}{5}\right)^{-1}\)

1. \(\left(\dfrac{ab}{5}\right)^{-1}=\dfrac{5}{ab}\).
2. \(4a^{7}b^{-1}\cdot\dfrac{5}{ab}=20a^{6}b^{-2}=\dfrac{20a^{6}}{b^{2}}\) (сократили \(a^{7}:a=a^{6}\), а \(b^{-1}\cdot b^{-1}=b^{-2}\)).

в) \((2a^{-2}b^{3})^{2}\cdot\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-6}\)

1. \((2a^{-2}b^{3})^{2}=4a^{-4}b^{6}\).
2. \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-6}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{6}=\dfrac{b^{6}}{a^{6}}\).
3. Перемножаем, складывая показатели: \[ 4a^{-4}b^{6}\cdot\frac{b^{6}}{a^{6}}=4a^{-10}b^{12}=\frac{4b^{12}}{a^{10}}. \]

г) \(\left(\dfrac{2x^{2}}{y^{3}}\right)^{-1}\cdot\left(x^{-1}y\right)^{3}\)

1. \(\left(\dfrac{2x^{2}}{y^{3}}\right)^{-1}=\dfrac{y^{3}}{2x^{2}}\).
2. \((x^{-1}y)^{3}=x^{-3}y^{3}=\dfrac{y^{3}}{x^{3}}\).
3. \(\dfrac{y^{3}}{2x^{2}}\cdot\dfrac{y^{3}}{x^{3}}=\dfrac{y^{6}}{2x^{5}}\).

Проверка. Возьмём \(x=2,\ y=3\) в пункте г): слева \(\left(\dfrac{8}{27}\right)^{-1}\cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^{3}=\dfrac{27}{8}\cdot\dfrac{27}{8}=\dfrac{729}{64}\), справа \(\dfrac{3^{6}}{2\cdot 2^{5}}=\dfrac{729}{64}\) — совпало. Так же проверяются остальные пункты.

Общая идея: сначала «разверните» отрицательные степени (дробь переворачивается), затем перемножайте степени с одинаковыми основаниями — показатели при этом складываются.