8 класс Контрольная работа № 1 Вариант I 1. Сократите дробь:

На фото два варианта контрольной. Ниже — ответы и решения для обоих; все преобразования выполняются при допустимых значениях переменных, то есть при ненулевых знаменателях.

Краткий ответ

Вариант I

1. а) \(\frac{5b}{7a^2}\); б) \(\frac{11}{a+3}\); в) \(\frac{x-y}{3}\).
2. а) \(\frac{a^2-3}{3a^2}\); б) \(\frac{2b}{4a^2-b^2}\); в) \(\frac{1}{b(b+4)}\).
3. \(2\).
4. \(-\frac{12}{a(a+6)}\).
5. \(\frac{20}{3}=6\frac{2}{3}\).

Вариант II

1. а) \(\frac{x^5}{3y}\); б) \(\frac{7}{b^3-5}\); в) \(\frac{a+b}{6}\).
2. а) \(\frac{x^2-12}{4x^2}\); б) \(\frac{2c}{16b^2-c^2}\); в) \(\frac{2}{a(a+7)}\).
3. \(4\).
4. \(-\frac{3}{x(2x+3)}\).
5. \(\frac{63}{2}=31{,}5\).

Как получились ответы

Вариант I

1. Раскладываем на множители и сокращаем:

\[ \frac{35a^6b^8}{49a^8b^7} =\frac{35}{49}\cdot a^{6-8}\cdot b^{8-7} =\frac{5b}{7a^2}. \]

\[ \frac{11a}{a^2+3a} =\frac{11a}{a(a+3)} =\frac{11}{a+3}. \]

\[ \frac{x^2-y^2}{3x+3y} =\frac{(x-y)(x+y)}{3(x+y)} =\frac{x-y}{3}. \]

2. Приводим к общему знаменателю:

а)

\[ \frac{a-6}{3a}+\frac{2a-1}{a^2} =\frac{a(a-6)+3(2a-1)}{3a^2} =\frac{a^2-3}{3a^2}. \]

б)

\[ \frac{1}{2a-b}-\frac{1}{2a+b} =\frac{(2a+b)-(2a-b)}{(2a-b)(2a+b)} =\frac{2b}{4a^2-b^2}. \]

в) Так как \(b^2+4b=b(b+4)\):

\[ \frac{5}{b+4}-\frac{5b-1}{b^2+4b} =\frac{5b-(5b-1)}{b(b+4)} =\frac{1}{b(b+4)}. \]

3. Сначала упростим выражение:

\[ \frac{15a^2-b}{5a}-3a =\frac{15a^2-b-15a^2}{5a} =-\frac{b}{5a}. \]

При \(a=-1{,}2\), \(b=12\):

\[ -\frac{12}{5\cdot(-1{,}2)} =-\frac{12}{-6}=2. \]

4.

\[ \frac{3}{a-6}-\frac{a+30}{a^2-36}-\frac{2}{a} = \frac{3a(a+6)-a(a+30)-2(a^2-36)} {a(a-6)(a+6)}. \]

\[ =\frac{72-12a}{a(a-6)(a+6)} =\frac{-12(a-6)}{a(a-6)(a+6)} =-\frac{12}{a(a+6)}. \]

5. Используем \(x-y=5\):

\[ \frac{(2x-2y)^2}{15} =\frac{4(x-y)^2}{15} =\frac{4\cdot25}{15} =\frac{20}{3}. \]

Вариант II

1.

\[ \frac{15x^7y^9}{45x^2y^{10}} =\frac{15}{45}\cdot x^{7-2}\cdot y^{9-10} =\frac{x^5}{3y}. \]

\[ \frac{7b}{b^4-5b} =\frac{7b}{b(b^3-5)} =\frac{7}{b^3-5}. \]

\[ \frac{a^2-b^2}{6a-6b} =\frac{(a-b)(a+b)}{6(a-b)} =\frac{a+b}{6}. \]

2.

а)

\[ \frac{x-8}{4x}+\frac{2x-3}{x^2} =\frac{x(x-8)+4(2x-3)}{4x^2} =\frac{x^2-12}{4x^2}. \]

б)

\[ \frac{1}{4b-c}-\frac{1}{4b+c} =\frac{(4b+c)-(4b-c)}{(4b-c)(4b+c)} =\frac{2c}{16b^2-c^2}. \]

в)

\[ \frac{3}{a+7}-\frac{3a-2}{a^2+7a} =\frac{3a-(3a-2)}{a(a+7)} =\frac{2}{a(a+7)}. \]

3.

\[ \frac{18x^2-y}{2x}-9x =\frac{18x^2-y-18x^2}{2x} =-\frac{y}{2x}. \]

При \(x=-1{,}5\), \(y=12\):

\[ -\frac{12}{2\cdot(-1{,}5)} =-\frac{12}{-3}=4. \]

4. Так как \(4x^2-9=(2x-3)(2x+3)\):

\[ \frac{3}{2x-3}-\frac{2x+15}{4x^2-9}-\frac{1}{x} = \frac{3x(2x+3)-x(2x+15)-(4x^2-9)} {x(2x-3)(2x+3)}. \]

\[ =\frac{9-6x}{x(2x-3)(2x+3)} =\frac{-3(2x-3)}{x(2x-3)(2x+3)} =-\frac{3}{x(2x+3)}. \]

5. Используем \(a-b=7\):

\[ \frac{(3a-3b)^2}{14} =\frac{9(a-b)^2}{14} =\frac{9\cdot49}{14} =\frac{63}{2}=31{,}5. \]

Что важно понять

• Дробь сокращают только на общий множитель, а не на отдельное слагаемое. Поэтому сначала нужно разложить числитель и знаменатель на множители.
• Для суммы или разности дробей ищем общий знаменатель; часто его удобно получать после разложения знаменателей, например \(b^2+4b=b(b+4)\).
• Полезны формулы: \[ x^2-y^2=(x-y)(x+y), \qquad a^2-36=(a-6)(a+6). \]
• В заданиях 3–5 сначала лучше упростить выражение, а уже потом подставлять числа или использовать данное равенство.