Угол между секущими окружности, пересекающимися в точке, внешней относительно этой окружности, измеряется полуразностью двух дуг этой окружности, заключённых внутри угла.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Теорема 2 Угол между секущими окружности, пересекающимися в точке, внешней относительно этой окружности, измеряется полуразностью двух дуг этой окружности, заключённых внутри угла (рис. 263).
[Рисунок: окружность с центром O; из точки M вне окружности проведены две секущие; на окружности отмечены точки A, B, C, D; проведена хорда BC; отмечены углы 1 и 2.]
Доказательство Проведём хорду BC. Угол ABC является внешним углом треугольника MBC, поэтому \(\angle ABC=\angle AMC+\angle 2\). Так как \(\angle ABC=\angle 1\), то \(\angle AMC=\angle 1-\angle 2\). По теореме о вписанном угле \(\angle 1=\frac{1}{2}\cup AC\), \(\angle 2=\frac{1}{2}\cup BD\), поэтому \(\angle AMC=\frac{1}{2}(\cup AC-\cup BD)\). Теорема доказана.
Теорема 3 Угол между хордой и касательной к окружности, проведённой в точке касания, измеряется половиной дуги этой окружности, заключённой внутри угла (рис. 264).
На фото нет отдельного номера: по рис. 263 это теорема об угле между двумя секущими, выходящими из внешней точки.
Ответ. Если секущие из точки \(M\) пересекают окружность сначала в точках \(B,D\), а затем в \(A,C\), то
\[ \angle AMC=\frac12\left(\cup AC-\cup BD\right). \]
То есть угол между секущими равен полуразности дуг, заключённых внутри угла.
Почему это так.
- Проведём хорду \(BC\).
- В треугольнике \(MBC\) угол \(ABC\) — внешний при вершине \(B\), поэтому \[ \angle ABC=\angle BMC+\angle BCM. \]
- Лучи \(MB\) и \(MA\) совпадают, значит, \[ \angle BMC=\angle AMC. \] Отсюда \[ \angle AMC=\angle ABC-\angle BCM. \]
- Углы \(ABC\) и \(BCM\) — вписанные. По теореме о вписанном угле: \[ \angle ABC=\frac12\cup AC,\qquad \angle BCM=\frac12\cup BD. \]
- Подставляем: \[ \angle AMC=\frac12\cup AC-\frac12\cup BD =\frac12\left(\cup AC-\cup BD\right). \]
Главная идея: внешний угол треугольника больше нужного угла на второй вписанный угол, а каждый вписанный угол равен половине своей дуги. Поэтому получается именно полуразность дуг.
Ниже на странице есть ещё теорема 3. Если нужна и она: пусть касательная в точке \(A\) и хорда \(AB\) образуют угол \(\alpha\). Проведём диаметр \(AD\). Тогда \(AD\perp\) касательной, поэтому \[ \angle DAB=90^\circ-\alpha. \] Так как \(AD\) — диаметр, \(\angle ABD=90^\circ\). Тогда \[ \angle ADB=180^\circ-90^\circ-(90^\circ-\alpha)=\alpha. \] Но \(\angle ADB\) — вписанный и опирается на дугу \(AB\), значит, \[ \alpha=\frac12\cup AB. \] Для смежного угла берётся дополнительная дуга — формулировка «дуга внутри угла» это учитывает.
