Чыгарып бер
Сверь числа и знаки с фото.
1-Вариант (Сол жак)
1-тапшырма. Аныкталбаган интегралды тапкыла: а) \(\int x^4\,dx\) б) \(\int (3x^2 - 2x + 5)\,dx\)
2-тапшырма. Ньютон-Лейбництин формуласын пайдаланып, аныкталган интегралды эсептегиле: а) \(\int_1^3 2x\,dx\) б) \(\int_0^2 (x^2 + 1)\,dx\)
3-тапшырма. Көрсөткүчтүү функция: а) \(y = 2^x\) функциясынын графигин түзгүлө (x үчүн −2, −1, 0, 1, 2 маанилерин алгыла).
4-тапшырма. Аныкталган интегралды эсептегиле: а) \(\int_1^4 3\sqrt{x}\,dx\) б) \(\int_0^1 (4x^3 - 6x)\,dx\)
Кыскача жооп
- а) \(\dfrac{x^{5}}{5}+C\); б) \(x^{3}-x^{2}+5x+C\)
- а) \(8\); б) \(\dfrac{14}{3}=4\dfrac{2}{3}\)
- Таблица: \((-2;\,0{,}25)\), \((-1;\,0{,}5)\), \((0;\,1)\), \((1;\,2)\), \((2;\,4)\) — жана ушул чекиттер аркылуу ийри сызык.
- а) \(14\); б) \(-2\)
1-тапшырма. Аныкталбаган интеграл
Негизги эреже:
\[\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \qquad (n\neq -1)\]
а) \(n=4\):
\[\int x^{4}\,dx=\frac{x^{5}}{5}+C\]
Текшерүү: \(\left(\frac{x^{5}}{5}\right)'=\frac{5x^{4}}{5}=x^{4}\) ✓
б) Интеграл сызыктуу: ар бир кошулуучуну өз-өзүнчө интегралдайбыз.
\[\int (3x^{2}-2x+5)\,dx=3\cdot\frac{x^{3}}{3}-2\cdot\frac{x^{2}}{2}+5x+C=x^{3}-x^{2}+5x+C\]
Текшерүү: \((x^{3}-x^{2}+5x)'=3x^{2}-2x+5\) ✓
2-тапшырма. Ньютон–Лейбниц формуласы
\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx=F(b)-F(a),\quad \text{мында } F'=f\]
а) \(F(x)=x^{2}\):
\[\int_{1}^{3}2x\,dx=\Big[x^{2}\Big]_{1}^{3}=9-1=8\]
Геометриялык текшерүү: \(y=2x\) түз сызыгы астындагы трапециянын аянты \(\frac{2+6}{2}\cdot 2=8\) ✓
б) \(F(x)=\frac{x^{3}}{3}+x\):
\[\int_{0}^{2}(x^{2}+1)\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}+x\right]_{0}^{2}=\frac{8}{3}+2=\frac{14}{3}\]
3-тапшырма. \(y=2^{x}\) графиги
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y=2^{x}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) |
Түзүү тартиби: чекиттерди координаталык тегиздикке белгилеп, бириктирип ийри сызык жүргүзөбүз. Ал \((0;1)\) чекити аркылуу өтөт, оң жакта тез өсөт, сол жакта \(Ox\) огуна жакындайт, бирок ага тийбейт (\(y=0\) — горизонталдык асимптота). \(2^{x}\) дайыма оң, ошондуктан график огудан ылдый түшпөйт.
4-тапшырма
а) Тамырды даража түрүндө жазабыз: \(\sqrt{x}=x^{1/2}\).
\[\int 3x^{1/2}\,dx=3\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2}=2x^{3/2}=2x\sqrt{x}\]
\[4^{3/2}=(\sqrt{4})^{3}=8,\qquad 1^{3/2}=1\]
\[\int_{1}^{4}3\sqrt{x}\,dx=2\,(8-1)=14\]
б) \(F(x)=x^{4}-3x^{2}\):
\[\int_{0}^{1}(4x^{3}-6x)\,dx=\Big[x^{4}-3x^{2}\Big]_{0}^{1}=1-3=-2\]
Жооп терс чыкты, анткени \((0;1)\) аралыгында \(4x^{3}-6x=2x(2x^{2}-3)<0\), башкача айтканда график \(Ox\) огунan ылдый жатат.
Жалпы эреже: \(x^{n}\to \frac{x^{n+1}}{n+1}\), сызыктуулук, Ньютон–Лейбниц формуласы — ушул үчөө интегралдын дээрлик бардык мектептик мисалдарын чыгарууга жетишет.
