Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\).

Как это получить

1. Выпишем числа из уравнения: \(x^2 - 5x + 6 = 0\). Здесь важны два числа: \(6\) (свободный член) и \(5\) (коэффициент при \(x\)).
2. Ищем два числа, которые:
   • при умножении дают \(6\);
   • при сложении дают \(5\).
3. Разложим \(6\) на множители: \(1\cdot 6\) и \(2\cdot 3\).
   • \(1 + 6 = 7\) — не подходит;
   • \(2 + 3 = 5\) — подходит!
4. Значит, нашлись числа \(2\) и \(3\), и выражение раскладывается так: \[ x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) \]
5. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю: \[ x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2, \qquad x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3. \]

Проверка

Подставим \(x = 2\): \[ 2^2 - 5\cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0. \] Подставим \(x = 3\): \[ 3^2 - 5\cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0. \]

Оба раза получился нуль — корни найдены верно.

Можно проверить и раскрытием скобок: \((x-2)(x-3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6\) — совпало с исходным уравнением. Я проверил, всё сходится.

Главная идея: у уравнения вида \(x^2 - px + q = 0\) корни — это как раз те два числа, произведение которых равно \(q\), а сумма равна \(p\). В нашем случае \(q = 6\), \(p = 5\), поэтому корни \(2\) и \(3\).