5. Высота BM, проведённая из вершины угла ромба ABCD образует со стороной AB угол 30°, AM = 4 см. Найдите длину диагонали BD ромба, если точка M лежит на стороне AD.

Ответ: \(BD=8\) см.

1. \(BM\) — высота к стороне \(AD\), поэтому \(BM\perp AD\). Значит, треугольник \(ABM\) прямоугольный, угол \(M=90^\circ\).
2. По условию \(\angle ABM=30^\circ\), тогда \(\angle BAM=60^\circ\). В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы: \[ AM=\frac{AB}{2}. \] Так как \(AM=4\) см, то \[ AB=8\text{ см}. \]
3. У ромба все стороны равны, поэтому \(AD=AB=8\) см. При этом \(M\) лежит на \(AD\), значит \[ \angle BAD=\angle BAM=60^\circ. \]
4. В треугольнике \(ABD\): \(AB=AD=8\) см и угол между ними \(60^\circ\). Такой треугольник является равносторонним, поэтому \[ BD=8\text{ см}. \]

Проверка по теореме косинусов: \[ BD^2=8^2+8^2-2\cdot8\cdot8\cos60^\circ=64, \] откуда \(BD=8\) см.

Главная идея: высота даёт прямоугольный треугольник, из него находим сторону ромба, а затем диагональ — через треугольник \(ABD\).